Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №6

Условие

Зимой в городе выпало такое количество снега, что при расчистке улиц его некуда было складывать, поэтому коммунальная служба города организовала временные пункты плавления снега на прямоугольной площадке размером $4\text{ м}$ длиной и $2\text{ м}$ шириной. Ограждений по краям нет. Чтобы снег не осыпался за границы, угол наклона его поверхности к земле со всех сторон не должен превышать $\alpha$ где $\operatorname{tg}\alpha=3$ . Снег насыпан так, что занимает максимально возможный объём при соблюдении этого условия. И при этом объем талой воды не превышает максимально возможный объем водоотвода.

Из-за разной плотности снега в нижних и верхних слоях (нижние слои более уплотнены временем и весом), коэффициент таяния (отношение объёма полученной воды к объёму снега) зависит от высоты слоя. Для упрощения расчётов снежную кучу высотой $H$ разделили на три горизонтальных слоя одинаковой толщины. Верхний слой (от $2H/3$ до $H$ метров высоты): $1\text{ м}^3$ снега даёт $0{,}3\text{ м}^3$ воды. Средний слой (от $H/3$ до $2H/3$ метров высоты): $1\text{ м}^3$ снега даёт $0{,}6\text{ м}^3$ воды. Нижний слой (от $0$ до $H/3$ метра высоты): $1\text{ м}^3$ снега даёт $0{,}9\text{ м}^3$ воды.

Найдите максимальный объём снега $V$ который можно разместить на площадке. Вычислите общий объём воды $W$ который образуется после полного таяния снега.

Исходная пространственная конфигурация. Найденные отношения и вспомогательные обозначения раскрываются в разборе.

О задаче · 10 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы20 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Модель к разбору

Снежная куча: одинаковая толщина, разные объёмы

Меняйте высоту горизонтального сечения и сравнивайте слои. Здесь нет времени таяния: оно в условии не задано.

В 3D: перетаскивание вращает модель; две точки касания приближают. Кнопки работают с клавиатуры. Стрелки на модели вращают камеру. Для прокрутки страницы проведите за пределами модели.

Высота горизонтального сечения z, м 1,00 м

Выделение слоя меняет только подсветку. Границы H/3 и 2H/3 неподвижны.

Видимость граней в 3D

H — максимальная высотаz — уровень сеченияГребень — верхнее ребро длиной 2 м

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

На расстоянии $d$ от края высота снега не может превышать $3d$ Какой формы получится самая высокая допустимая поверхность?

Подсказка 2

Снежную кучу можно разбить на центральную треугольную призму и два торца, которые вместе составляют квадратную пирамиду. Такое же разбиение работает для части выше любой горизонтальной плоскости.

Разобрать решение по шагам

Определяем максимальную форму

От каждого края поверхность поднимается с наибольшим допустимым уклоном $\tan\alpha=3$ В любой точке её высота равна утроенному расстоянию до ближайшего края: большая высота нарушила бы ограничение хотя бы со стороны этого края. Половина ширины площадки равна $1\text{ м}$ поэтому максимальная высота $H=3\text{ м}$ Верхний гребень имеет длину $4-2=2\text{ м}$

Считаем объём верхней части

Рассмотрим снег выше некоторого горизонтального уровня и обозначим оставшуюся высоту через $t$ ( $0\le t\le3$ ). Ширина основания этой верхней части равна $2t/3$ длина — $2+2t/3$ Центральная часть — треугольная призма длины $2$ с площадью поперечного сечения $\tfrac12(2t/3)t$ Два торца можно совместить в квадратную пирамиду со стороной основания $2t/3$ и высотой $t$ Поэтому объём верхней части

U(t)=2\cdot\frac12\cdot\frac{2t}{3}\cdot t+\frac13\left(\frac{2t}{3}\right)^2t=\frac{2t^2}{3}+\frac{4t^3}{27}.

При $t=3$ получаем максимальный объём снега $V=U(3)=6+4=10\text{ м}^3$

Верхняя часть кучи: остаточная высота t, поперечная ширина 2t/3 и центральный участок длиной 2. Чертёж рассчитан для наглядного примера t = 2, формула ниже выведена для любого t.

Находим объёмы трёх слоёв

Каждый слой имеет толщину $H/3=1\text{ м}$ Для верхнего слоя остаётся высота $t=1$ для двух верхних вместе — $t=2$ Вычислим

U(1)=\frac{22}{27},\qquad U(2)=\frac{104}{27},\qquad U(3)=10.

Поэтому объёмы снизу вверх равны

V_1=10-\frac{104}{27}=\frac{166}{27},\qquad V_2=\frac{104-22}{27}=\frac{82}{27},\qquad V_3=\frac{22}{27}\quad(\text{м}^3).

Их сумма действительно равна $10\text{ м}^3$

Положение сечения и слоёв согласовано с обозначениями текущего шага.

Применяем коэффициенты таяния

Нижний слой даёт $0{,}9$ своего объёма воды, средний — $0{,}6$ верхний — $0{,}3$ Значит,

W=0{,}9\cdot\frac{166}{27}+0{,}6\cdot\frac{82}{27}+0{,}3\cdot\frac{22}{27}=7{,}6\text{ м}^3.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$V=10\text{ м}^3$ $W=7{,}6\text{ м}^3$

Главная идея

Восстановить максимальную поверхность из ограничения уклона, затем вычислить объёмы слоёв как разности объёмов верхних частей.

Как заметить эту идею в другой задаче

Высота ограничена расстоянием до ближайшего края; при горизонтальных срезах отступ от всех краёв одинаков.

Возможная ошибка

Равная толщина слоёв не означает равные объёмы. Нельзя применить среднее коэффициентов таяния ко всему снегу.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Многогранники и объёмы →

Тема, знания и приёмы

Многогранники и объёмы · Продвинутая подготовка

Грани и рёбра
объёмы куба и призмы

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →