Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №3

Условие

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $A$ на стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. Прямые $AC$ и $BC$ пересекают эту окружность в точках $D$ и $E$ соответственно ( $D\ne A$ $E\ne B$ ). Через точки $D$ и $E$ к окружности проведены касательные, пересекающиеся в точке $F$ Прямая $CK$ перпендикулярна прямой $AB$ а точка $K$ — точка пересечения прямых $BD$ и $CK$ Найдите радиус описанной около треугольника $ACK$ окружности, если $FD=6$ а угол $CBD$ равен $\arcsin0{,}6$

Даны касательные FD, FE, прямые BD и CK. D находится на продолжении AC. Новые построения решения ещё не показаны.

О задаче · 10 класс · 16 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы16 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте $\angle CBD=\theta$ и радиус окружности с диаметром $AB$ через $r$ Свяжите длину касательной с углом, опирающимся на хорду $DE$

Подсказка 2

Из угла в полуокружности $BD\perp AC$ поэтому $K$ — ортоцентр треугольника $ABC$ Окружности треугольников $ABC$ и $ACK$ имеют одинаковые радиусы.

Разобрать решение по шагам

Находим радиус вспомогательной окружности

Обозначим её центр через $O$ радиус через $r$ а $\theta=\angle CBD=\arcsin(3/5)$ . Тогда $\cos\theta=4/5$ и $\tan\theta=3/4$ Поскольку $B,E,C$ лежат на одной прямой, вписанный угол $DBE$ равен $\theta$ и стягивает меньшую дугу $DE$ с центральным углом $2\theta$ Радиусы $OD,OE$ перпендикулярны касательным. Прямоугольные треугольники $ODF$ и $OEF$ равны по общей гипотенузе $OF$ и катетам $OD=OE$ поэтому $OF$ делит угол $DOE$ пополам. Из прямоугольного треугольника $ODF$ получаем

FD=r\tan\theta,\qquad 6=\frac34r.

Следовательно, $r=8$ а $AB=16$

Появились O, радиусы к D и E и углы θ, 2θ.

Определяем угол при вершине C

Угол $ADB$ опирается на диаметр, значит $BD\perp AC$ Поскольку угол $A$ тупой, углы $B,C$ острые и угол между $BC$ и $BD$ равен $90^\circ-\angle C$ Отсюда

\sin C=\cos\theta=\frac45.

По расширенной теореме синусов радиус описанной окружности $ABC$ равен

R_{ABC}=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{16}{2\cdot4/5}=10.

Перпендикуляр BD к AC связывает угол C с известным углом θ.

Переходим к треугольнику ACK

Прямые $BD$ и $CK$ — высоты треугольника $ABC$ поэтому их пересечение $K$ — ортоцентр и $AK\perp BC$ Поскольку также $CK\perp AB$ угол между $AK$ и $CK$ равен углу $B$ либо дополнительному к нему; в обоих случаях $\sin\angle AKC=\sin B$ Снова по теореме синусов

R_{ACK}=\frac{AC}{2\sin\angle AKC}=\frac{AC}{2\sin B}=R_{ABC}=10.

Добавлена высота AK и выделен нужный треугольник ACK.

Ответ

$10$

Главная идея

Сначала восстановить диаметр по касательной и вписанному углу, затем использовать высоты и расширенную теорему синусов.

Как заметить эту идею в другой задаче

Окружность на стороне как на диаметре создаёт перпендикуляры; пересечение двух высот подсказывает ортоцентр.

Возможная ошибка

Тупой угол при $A$ означает, что некоторые точки лежат на продолжениях сторон. Нельзя автоматически помещать все точки внутрь треугольника.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Окружности и касательные →

Тема, знания и приёмы

Окружности и касательные · Продвинутая подготовка

Вписанные углы
перпендикулярность радиуса касательной

Приёмы решения: Дополнительное построение · Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →