Все значения многочлена и две границы в источнике

Сначала отделим две версии условия

В основном условии на странице $1$ стоит граница $10\,000\,000$. В повторе на странице $4$ — $1\,000\,000$. Сам многочлен совпадает. Найдём всё множество его целых значений: тогда обе версии можно проверить одним доказательством, не смешивая их числа.

Докажем делимость каждого значения на три

Для любого целого $u$ произведение $(u-1)u(u+1)$ делится на $3$: одно из трёх последовательных чисел кратно $3$. Поэтому $u^3-u$ кратно $3$. Выделим именно такие выражения для $u=x$ и $u=2y$:

Каждое слагаемое делится на $3$, значит, $P(x,y)$ всегда кратно $3$. Это пока ограничение, а не доказательство, что получаются все кратные.

Покажем, что достигается каждое кратное

Коэффициенты кубических слагаемых дают $1+8-3-6=0$. Поэтому естественно попробовать $x=y$: все члены третьей степени исчезнут.

Для любого целого $k$ возьмём $t=-k$. Тогда $P(-k,-k)=3k$. Вместе с предыдущим шагом это доказывает: множество значений — ровно все целые числа, кратные $3$.

Посчитаем ответы обеих версий

Положительные кратные $3$, не превышающие $B$, имеют вид $3,6,\ldots,3\lfloor B/3\rfloor$. Их количество равно $\lfloor B/3\rfloor$. Для исходной страницы $1$:

Для повтора на странице $4$:

Официальный ответ $333\,333$ относится ко второй границе. Он не является ответом на первую опубликованную формулировку.