Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №1

Условие

Играя, девочка Маша нашла $6$ папиных новых носков одинаковой формы (правый не отличается от левого) трех цветов: $2$ белых, $2$ серых и $2$ черных, при этом носки одинакового цвета визуально неразличимы. Маша решила их надеть по три штуки на каждую ногу. Сколькими способами она это может сделать, если важно, какой носок надет раньше, какой позже и на какую ногу, а также носки можно выворачивать наизнанку?

О задаче · 10 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы12 баллов

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Занумеруйте шесть действий по времени. Для каждого действия нужно выбрать цвет носка, ногу и сторону носка.

Подсказка 2

Сначала расставьте по шести моментам времени два носка каждого цвета. Затем выберите три момента, когда Маша надевает носок на левую ногу.

Разобрать решение по шагам

Фиксируем шесть моментов времени

Нумеруем действия от $1$ до $6$ На каждом шаге Маша надевает один носок, а запись всех шести шагов должна указывать его цвет, ногу и положение — обычное или наизнанку. Такая запись полностью определяет способ надевания. Именно общий порядок действий требуется по условию, даже если итоговые слои на ногах могут совпасть.

Расставляем цвета по порядку

Выбираем $2$ из $6$ моментов для белых носков, затем $2$ из оставшихся $4$ — для серых. На двух оставшихся шагах надеваются чёрные. Поскольку одинаковые носки неразличимы, получаем

C_6^2C_4^2=15\cdot6=90

последовательностей цветов.

Учитываем ноги и выворачивание

Из шести действий выбираем три, относящиеся к левой ноге; остальные автоматически относятся к правой. Это даёт $C_6^3=20$ вариантов. Для каждого из шести действий независимо выбираем обычную сторону или выворачивание: $2^6=64$ варианта. Любая комбинация этих выборов допустима, и разные записи задают разные способы. Поэтому

90\cdot20\cdot64=115\,200.

Ответ

$115\,200$

Главная идея

Каждый способ — полная последовательность шести действий. Цвета, выбор ноги и выворачивание задаются тремя независимыми выборами.

Как заметить эту идею в другой задаче

Условие различает то, что сделано раньше и позже: считайте последовательность действий, а не только итоговое расположение предметов.

Возможная ошибка

Если учитывать только порядок слоёв на каждой ноге, потеряется порядок действий между разными ногами. Например, сначала надеть носок на левую ногу, затем на правую — другой порядок, чем сделать эти действия наоборот.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Нужна школьная база

Правила сложения и умножения
различимые и одинаковые объекты

Приёмы решения: Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →