Тридцатая цифра без возведения в степень

Получаем целое число

Положим $A=(3+\sqrt7)^{100}$ и $\varepsilon=(3-\sqrt7)^{100}$. Почему полезно сложить именно эти числа? При раскрытии трёх одинаковых скобок получается

Например, $3a^2b$ возникает потому, что выбрать $b$ можно из любой одной из трёх скобок. В степени $n$ слагаемое с $k$ выбранными буквами $b$ имеет коэффициент $C_n^k$ — число способов выбрать эти $k$ скобок:

Если заменить $b$ на $-b$, знак меняется только у нечётных степеней $b$. Поэтому при сложении наших двух степеней нечётные степени $\sqrt7$ сокращаются:

Все оставшиеся слагаемые целые. Так мы заменили вычисление огромного числа оценкой маленькой положительной поправки.

Оцениваем малую поправку

Так как $5/2<\sqrt7<3$, имеем $0<3-\sqrt7<1/2$. Поэтому

Последнее неравенство следует из $2^{10}=1024>10^3$ после возведения в десятую степень.

Определяем нужную цифру

Получаем

Дробная часть $A$ больше $1-10^{-30}$ и меньше $1$. Следовательно, её первые $30$ цифр после запятой — девятки. В частности, тридцатая цифра равна $9$.