Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 10 кл., №5

Условие

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$ наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$ . Найдите угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$ если площадь сечения относится к площади основания призмы как $35:24$

Исходная призма, заданное сечение и диагональ AC₁. Вспомогательные точки и найденный угол появятся в решении.

О задаче · 10 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 10 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 10 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Модель к разбору

Ромбическая призма: сечение и проекция

Поверните фигуру, чтобы увидеть плоскость и её след. Поворот камеры не меняет размеры и не заменяет доказательство.

В 3D: перетаскивание вращает модель; две точки касания приближают. Кнопки работают с клавиатуры. Стрелки на модели вращают камеру. Для прокрутки страницы проведите за пределами модели.

Исследование семейства призм. Основной разбор выше относится к данным условия. Здесь меняется форма ромба, а найденные высота и наклон сечения сохраняются. Для сравнения выбрана одна мера длины: AC = h = 4 условные единицы. Это масштаб модели, не дополнительные длины из условия.

Форма основания:

\dfrac{BD}{2AC}

0,3375

Ползунок задаёт отношение половины диагонали BD к диагонали AC. Вместе с BD меняются сторона ромба, площади и объёмы. Углы и отношение площадей остаются прежними: проверьте это на разных ромбах.

Видимость граней в 3D

Переключатели ниже управляют слоями 3D; в статичном режиме даны полные опорные проекции.

Секущая плоскость Проекция на основание AC₁ и AC

Текущая форма: BD = 2,7 усл. ед.Сторона ромба AB = 2,413 усл. ед.Площадь основания: S_осн = 4 × 2,7 : 2 = 5,4 усл. ед.².Площадь проекции: S_пр = 4,725 усл. ед.².Площадь сечения: S_сеч = 7,875 усл. ед.².При изменении формы остаётся неизменнымS_сеч : S_осн =

\frac{35}{24}

≈ 1,458333; доля проекции =

\frac{7}{8}

.AC = 4; h = 4; AC₁ ≈ 5,657 усл. ед.α ≈ 53,13°; β = 45°.

A, B, C, D — основаниеC₁ — верхняя вершина над CF, G, B₂, D₂ — вершины сеченияP — след плоскости на ACO — центр ромбаh — CC₁α — угол плоскости; β — угол диагонали

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Свяжите площадь сечения с площадью его ортогональной проекции на основание.

Подсказка 2

Проекция занимает $\frac{7}{8}$ ромба. Оставшийся треугольник у вершины $A$ подобен половине ромба; найдите его линейный масштаб.

Разобрать решение по шагам

Находим площадь проекции

Пусть $\alpha=\operatorname{arctg}(4/3)$ . Тогда $\cos\alpha=3/5$ Для ортогональной проекции наклонного сечения

S_{\text{пр}}=S_{\text{сеч}}\cos\alpha,

поэтому

\frac{S_{\text{пр}}}{S_{ABCD}}=\frac{35}{24}\cdot\frac35=\frac78.

Определяем положение следа плоскости

Пусть $O$ — пересечение диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны, поэтому направление $AC$ перпендикулярно $BD$ Высота секущей плоскости меняется вдоль $AC$ а вдоль $BD$ постоянна. От вершины $C_1$ плоскость опускается к основанию; её след пересекает $AC$ в точке $P$ Если бы след не отсекал часть ромба, проекция занимала бы весь ромб. Доля $7/8>1/2$ означает, что след пересекает стороны $AB$ и $AD$ отсекая у $A$ треугольник площади $S_{ABCD}/8$

След плоскости пересекает AC в P. Проекция занимает оставшуюся после отсечения треугольника часть ромба.

Находим отрезок PC

Отсечённый треугольник подобен $ABD$ поскольку его основание параллельно $BD$ Площадь $ABD$ равна половине площади ромба. Следовательно,

\left(\frac{AP}{AO}\right)^2=\frac{1/8}{1/2}=\frac14.

Значит, $AP=AO/2=AC/4$ и $PC=3AC/4$

Восстанавливаем высоту и угол диагонали

Обозначим высоту призмы через $h=CC_1$ В сечении вертикальной плоскостью $ACC_1$ угол $C_1PC$ равен углу наклона секущей плоскости:

\frac h{PC}=\tan\alpha=\frac43.

Поэтому $h=(4/3)(3AC/4)=AC$ Проекция диагонали $AC_1$ на основание — $AC$ значит для искомого угла $\beta$

\tan\beta=\frac h{AC}=1,\qquad\beta=45^\circ.

В вертикальной плоскости ACC₁ появились высота h и углы α, β.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$45^\circ$

Главная идея

Перевести отношение пространственных площадей в отношение плоских площадей и восстановить высоту по уклону секущей плоскости.

Как заметить эту идею в другой задаче

Сечение наклонено под известным углом и задана его площадь: проекция устраняет пространственную сложность.

Возможная ошибка

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения длин. Нельзя принять оставшуюся долю $\frac{1}{8}$ за долю диагонали.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 5 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 10 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Сечения и проекции →

Тема, знания и приёмы

Сечения и проекции · Продвинутая подготовка

Подобие
проекция
угол прямой и плоскости

Приёмы решения: Координаты и проекции · Подобие треугольников

Задать вопрос по задаче →