Задача 5. От 2024 к цифрам 1 и 2

Переносим 2024 к запятой

Будем делить $m$ на $n$ уголком. На каждом шаге есть остаток — число от $0$ до $n-1$: к нему приписываем ноль, делим на $n$ и получаем очередную цифру и новый остаток.

Пусть цифры $2, 0, 2, 4$ стоят на местах $p+1$, $p+2$, $p+3$, $p+4$ после запятой, а $r$ — остаток, который был перед $(p+1)$-й цифрой. Дальше деление идёт ровно так, как если бы мы с самого начала делили $r$ на $n$: те же шаги, те же цифры. Значит, начиная с $(p+1)$-го места записаны цифры дроби $\frac{r}{n}$:

Это правильная дробь со знаменателем $n$ (остаток меньше делителя), и у неё $2, 0, 2, 4$ стоят сразу после запятой. Например, $\frac{21}{247} = 0{,}0850\,2024\,29\ldots$: перед 5-й цифрой остаток равен $50$, и $\frac{50}{247} = 0{,}2024\,2914\ldots$

То же без деления уголком: $10^p\cdot m = A\cdot n + r$, где $A$ — частное, а $r$ — остаток. Поэтому $10^p\cdot \frac{m}{n} = A + \frac{r}{n}$: если сдвинуть запятую на $p$ мест вправо, целая часть станет $A$, а после запятой окажется запись дроби $\frac{r}{n}$.

Что мы знаем и что ищем

Раз запись $\frac{r}{n}$ начинается с $0{,}2024$, то

В частности, $r \ge 1$. Больше ничего про $r$ и $n$ мы не знаем — и этого хватит.

Из дроби $\frac{r}{n}$ легко делать другие дроби с тем же знаменателем: умножить числитель на целое число и вычесть $n$ столько раз, сколько можно, то есть отбросить целую часть. Какое число взять? Заметим, что $0{,}2024 = 0{,}2 + 0{,}0024$, а $0{,}2 = \frac15$. При умножении на $5$ часть $0{,}2$ станет ровно единицей — её мы отбросим, — а маленькая добавка $0{,}0024$ превратится в $0{,}012$: в ней как раз стоят цифры 1 и 2.

Умножаем на 5

Умножим неравенства на $5$:

Вычтем $1$, то есть $\frac{n}{n}$:

Положим $a = 5r - n$. Из левого неравенства $a \ge 0{,}012\cdot n > 0$, значит, $a$ — натуральное число. Из правого $a < 0{,}0125\cdot n < n$, значит, $\frac{a}{n}$ — правильная дробь со знаменателем $n$.

Читаем цифры новой дроби

Число $\frac{a}{n}$ не меньше $0{,}012$ и меньше $0{,}0125$, а значит, и меньше $0{,}013$. Такое число — это $0{,}012$ плюс добавка меньше $0{,}001$, а добавка меньше $0{,}001$ не трогает первые три цифры после запятой. Поэтому

Сразу после запятой стоят $0$, $1$, $2$ — цифры 1 и 2 идут подряд. Дробь $\frac{5r-n}{n}$ — искомая.

В примере: $r = 50$, $n = 247$, $a = 250 - 247 = 3$ и $\frac{3}{247} = 0{,}0121\,4574\ldots$

Второй вариант

Шаг 1 тот же: остаток $r$ перед цифрами $2, 0, 2, 5$ даёт дробь со знаменателем $n$, которая начинается с этих цифр:

Умножение на 5 здесь не помогает: $5\cdot 0{,}2025 = 1{,}0125$ и $5\cdot 0{,}2026 = 1{,}013$, поэтому после отбрасывания единицы для всех дробей из условия гарантировано только начало $0{,}012\ldots$ А у дроби $\frac{81}{400} = 0{,}2025$ получится ровно $\frac{5\cdot 81-400}{400} = \frac{5}{400} = 0{,}0125$ — цифры 1 и 5 в ней есть, но не рядом. Нужна пара 1, 5. Заметим: $0{,}2025 = 0{,}2 + 0{,}0025$; при умножении на 6 часть $0{,}2$ даёт $1{,}2$, а добавка — $0{,}015$, вместе $1{,}215$. Умножим неравенства на 6:

Положим $a = 6r - n$:

Значит, $a > 0$ — натуральное число, $a < n$, и $\frac{a}{n} = 0{,}215\ldots$: на 2-м и 3-м местах после запятой стоят 1 и 5.

Пример: $\frac{45}{79} = 0{,}5696\,2025\,31\ldots$, перед 5-й цифрой остаток $16$; $a = 6\cdot 16 - 79 = 17$ и $\frac{17}{79} = 0{,}2151\,8987\ldots$