Задача 4. Три урока за партами

Сосед определяется суммой

Посмотрим на одного ученика; пусть его рост равен $x$. Если он сидит за партой, сумма за которой равна $s$, то рост его соседа — это

Значит, по сумме рост соседа восстанавливается однозначно. А все ученики разного роста, поэтому ученик такого роста в классе не больше одного.

Сумм в условии всего три: $3$ м, $3{,}3$ м и $3{,}5$ м. Поэтому у каждого ученика не больше трёх возможных соседей — по одному на каждую сумму.

Зачем это нужно: уроков тоже три. Если у кого-то возможных соседей окажется меньше трёх, то за три урока какой-то сосед достанется ему дважды — вот и нужная пара. Осталось найти такого ученика.

Самый высокий и самый низкий

У кого выбор соседей самый бедный? Разумно посмотреть на тех, кто «с краю»: на самого высокого и самого низкого. Обозначим их рост через $M$ и $m$ и сложим:

Это разные ученики: их чётное число, значит, не меньше двух, а ростом они все различны.

Сосед самого высокого — кто-то из класса, и он не ниже самого низкого. Поэтому сумма за любой партой самого высокого не меньше $S$.

Точно так же сосед самого низкого не выше самого высокого, поэтому сумма за любой партой самого низкого не больше $S$.

Одно число $S$ — и два случая

Число $S$ у класса одно, поэтому либо $S>3$ м, либо $S\le 3$ м — третьего не дано.

Почему граница именно $3$ м? Чтобы у самого высокого осталась сумма $3$ м, нужно $S\le 3$ м. А чтобы у самого низкого остались суммы $3{,}3$ м и $3{,}5$ м, нужно $S\ge 3{,}5$ м. Сразу и то и другое не бывает, так что кто-то из двоих обязательно теряет часть сумм. Разберём оба случая.

Случай 1: $S>3$ м. Сумма за любой партой самого высокого не меньше $S$, то есть больше $3$ м. Значит, сумма $3$ м ему недоступна, остаются только $3{,}3$ м и $3{,}5$ м — по шагу 1 это не больше двух возможных соседей.

Случай 2: $S\le 3$ м. Сумма за любой партой самого низкого не больше $S$, то есть не больше $3$ м. Значит, суммы $3{,}3$ м и $3{,}5$ м ему недоступны и остаётся только сумма $3$ м — не больше одного возможного соседа. (Если бы подходящего соседа не нашлось совсем, самого низкого вообще нельзя было бы посадить за парту, а по условию он сидел за партой на каждом уроке.)

Принцип Дирихле — и всё доказано

В обоих случаях нашёлся ученик, у которого возможных соседей меньше трёх, а уроков три. Значит, на каких-то двух уроках его соседом был один и тот же человек: разложить три урока по двум (а то и по одному) вариантам соседа без совпадения нельзя.

Эти двое и сидели за одной партой хотя бы на двух уроках из трёх. Доказано.

Обрати внимание, чем мы пользовались: сами числа $3$, $3{,}3$ и $3{,}5$ почти не участвовали. Важно было только, что разрешённых сумм ровно три — столько же, сколько уроков, — и что все ученики разного роста. Убери любое из этих условий, и утверждение сломается (примеры — в проверке).

Второй вариант

Рассуждение дословно то же, меняются только числа и герои.

Соперник определяется суммой: если вес участника равен $x$, а суммарный вес схватки равен $s$, то соперник весит $s-x$. Все участники разного веса, поэтому на каждое значение веса приходится не больше одного человека, и у каждого участника не больше трёх возможных соперников — по одному на каждую сумму.

Пусть $M$ — вес самого тяжёлого, $m$ — вес самого лёгкого, $S=M+m$. Любая схватка самого тяжёлого имеет сумму не меньше $S$, любая схватка самого лёгкого — не больше $S$. Дальше два случая: либо $S>375$ кг, либо $S\le 375$ кг — третьего не дано.

Если $S>375$ кг, самому тяжёлому недоступна сумма $375$ кг: остаются $379$ кг и $380{,}5$ кг — не больше двух возможных соперников. Если $S\le 375$ кг, самому лёгкому недоступны суммы $379$ кг и $380{,}5$ кг: остаётся только $375$ кг — не больше одного возможного соперника.

Раундов три, а вариантов соперника у этого участника меньше трёх, поэтому в каких-то двух раундах соперник у него совпадёт. Эти двое и боролись друг с другом минимум дважды.

В модели второй вариант включается кнопкой «2 вариант»: те же правила, веса задаются с точностью до половины килограмма.