Задача 1. Три числа из делителей

Что нужно найти

Нужны три числа и три равенства — по одному на каждое число. В каждом равенстве ровно три слагаемых: первое — делитель $a$, второе — делитель $b$, третье — делитель $c$:

Удобно писать равенства друг под другом. Тогда слагаемые встают в три столбца: в первом — делители $a$, во втором — делители $b$, в третьем — делители $c$. Делитель числа — натуральное число, на которое оно делится без остатка; $1$ и само число тоже делители.

Задача просит пример. Значит, достаточно заполнить все девять клеток-слагаемых и проверить каждое слагаемое и каждую сумму — это и будет полное решение.

Почему наугад не выходит

Попробуем, например, три трёхзначных простых числа $p<q<r$. У простого числа только два делителя: $1$ и само число. Соберём самое маленькое из них, $p$.

• Делитель $p$ в этой строке — только $1$: если взять само $p$, на два других слагаемых ничего не останется, а они хотя бы по $1$.

• Делители $q$ — это $1$ и $q$, но $q>p$, поэтому подходит только $1$. Так же и с $r$.

Выходит $p=1+1+1=3$, а $3$ не трёхзначное. Слагаемые должны быть крупными, сравнимыми с самими числами, — значит, у чисел должно быть много больших делителей. Угадать такую тройку трудно, поэтому построим её.

Сначала маленький пример

Отложим требование «трёхзначные». Каждое из трёх чисел — сумма трёх натуральных слагаемых, поэтому оно не меньше $3$. Возьмём самое маленькое: $a=3$. Его можно собрать из единиц, $3=1+1+1$, ведь $1$ — делитель любого числа.

Следующее возьмём $b=4$: подходит $4=1+2+1$, потому что $2$ — делитель $4$. Третье $c=5$: подходит $5=3+1+1$, потому что $3$ — делитель $3$.

В первом столбце слагаемых — делители $3$ (числа $1$ и $3$), во втором — делители $4$ ($1$ и $2$), в третьем — делитель $5$ (число $1$). Все три суммы верны. Тройка $3$, $4$, $5$ подходит, только числа однозначные.

Увеличим всё в 100 раз

Умножим на $100$ все три числа и все девять слагаемых. Делимость при этом сохраняется: если $n=d\cdot k$, то

то есть делитель $d$ числа $n$ превращается в делитель $100d$ числа $100n$. Равенства тоже остаются верными: обе части каждой суммы стали в $100$ раз больше. Получаем $a=300$, $b=400$, $c=500$:

Первый столбец слагаемых — делители $300$, второй — делители $400$, третий — делители $500$. Проверим: $300=3\cdot 100$, $400=4\cdot 100=2\cdot 200$, $500=5\cdot 100$, а $300$ делится само на себя. Суммы во всех трёх строках верны. Числа $300$, $400$, $500$ различные и трёхзначные — пример найден.

Второй вариант

Условие то же, только числа называются $x$, $y$, $z$ и должны быть четырёхзначными. Решение не меняется: маленький пример $3$, $4$, $5$ умножаем не на $100$, а на $1000$ (или пример первого варианта — на $10$). Если $n=d\cdot k$, то $1000n=(1000d)\cdot k$, поэтому делители остаются делителями, а суммы умножаются на $1000$:

Проверка: $3000=3\cdot 1000$, $4000=4\cdot 1000=2\cdot 2000$, $5000=5\cdot 1000$, а $3000$ делится само на себя; суммы в строках равны $3000$, $4000$ и $5000$. Числа различные и четырёхзначные. Годится и любая тройка $3t$, $4t$, $5t$ при $334\le t\le 1999$.