Математика · 8 класс · районный тур

Найдите три таких различных трёхзначных числа $a$, $b$ и $c$, что каждое из них равно сумме какого-то делителя $a$, какого-то делителя $b$ и какого-то делителя $c$. Достаточно привести один пример такой тройки чисел.

Найдите все тройки положительных чисел $x, y, z$, удовлетворяющих уравнениям

На равных сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $AE = CD$. Точка $H$ на отрезке $BE$ — основание высоты, опущенной из точки $A$ на сторону $BC$. Найдите длину отрезка $EH$, если известно, что $CE = 2$, $AD = 4$.

В классе учится чётное число учеников, все они разного роста. На каждом уроке они садятся за парты по двое. На уроках алгебры, геометрии и искусственного интеллекта оказалось, что для каждой парты сумма ростов сидящих за ней учеников равна $3$ м, $3{,}3$ м или $3{,}5$ м. Докажите, что какие-то двое сидели за одной партой хотя бы на двух из этих трёх уроков.

Даны натуральные числа $m$ и $n$, $m<n$. В десятичной записи дроби $m/n$ после запятой подряд встретились цифры $2, 0, 2, 4$ (именно в таком порядке). Докажите, что существует правильная дробь со знаменателем $n$ (и натуральным числителем), в записи которой после запятой найдутся подряд цифры 1 и 2 именно в таком порядке.