Олимпиада СПб 2024 · Математика · 8 кл., №3

Условие

На равных сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $AE = CD$ Точка $H$ на отрезке $BE$ — основание высоты, опущенной из точки $A$ на сторону $BC$ Найдите длину отрезка $EH$ если известно, что $CE = 2$ $AD = 4$

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

На равных сторонах $KM$ и $ML$ равнобедренного треугольника $KML$ отмечены точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $KY = LX$ Точка $P$ на отрезке $YL$ — основание высоты, опущенной из точки $K$ на сторону $ML$ Найдите длину отрезка $LP$ если известно, что $KX = 3$ и $LY = 7$

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 91-я (2025)
Этап: I тур (районный)
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 16 ноября 2024 г.

Начерти два-три равнобедренных треугольника с разной боковой стороной, отметь $D$ и $E$ и подгони форму так, чтобы получилось $AE = CD$ каждый раз измерь $EH$ Меняется ли он? В модели «Собери свой треугольник» ты сам выбираешь боковую сторону и положение вершины $A$ а модель точно сравнивает $AE$ и $CD$ и показывает $EH$ Поле ниже проверяет число для первого варианта (условие выше).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСобери свой треугольник

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Собери свой треугольник

Выбери боковую сторону и положение вершины A — модель точно сравнит AE и CD и покажет EH. Подбери несколько треугольников, в которых AE = CD: меняется ли EH?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Попробуй на бумаге: начерти отрезок CB = 9 см, выбери на нём точку H, проведи через неё перпендикуляр к CB и найди на нём циркулем точку A, для которой BA = 9 см. Отметь D на AB (AD = 4 см) и E на BC (CE = 2 см) и измерь AE и CD. Сдвигай H, пока AE и CD не станут равны, и измерь EH. Потом повтори с другой длиной CB.

Подсказка 1

Отрезки $AE$ и $CD$ равны, но выходят из разных концов основания $AC$ поэтому сравнивать их неудобно. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии, и она меняет местами $A$ и $C$ Подумай, как с её помощью получить отрезок, равный $CD$ который начинается в точке $A$

Подсказка 2

Отметь на стороне $BC$ точку $D'$ для которой $BD' = BD$ Тогда $CD' = AD = 4$ а треугольники $ABD'$ и $CBD$ равны, поэтому $AD' = CD = AE$ Что можно сказать о треугольнике $AED'$ и о его высоте $AH$ На каких расстояниях от $C$ лежат точки $E$ и $D'$

Разобрать решение по шагам

Переносим отрезок $CD$ в точку $A$

Отрезки $AE$ и $CD$ равны, но начинаются в разных вершинах, $A$ и $C$ — так их трудно связать с высотой из $A$ Треугольник равнобедренный, а при симметрии относительно биссектрисы угла $B$ вершины $A$ и $C$ меняются местами. Поэтому попробуем «перенести» отрезок $CD$ так, чтобы он начинался в точке $A$

Пусть $AB = BC$ Отметим на стороне $BC$ точку $D'$ для которой $BD' = BD$ (это возможно: $BD \le AB = BC$ ). Тогда

CD' = BC - BD' = AB - BD = AD = 4.

В треугольниках $ABD'$ и $CBD$ стороны $AB = CB$ и $BD' = BD$ а угол $B$ между ними общий. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, и

AD' = CD = AE.

Пример:

AB = BC = 9

Точка

D'

на

BC

BD' = BD = 5

симметрична

D

относительно оси треугольника (штрихпунктир). Треугольники

CBD

ABD'

равны по двум сторонам и углу

B

поэтому

AD' = CD

CD' = AD = 4

Равнобедренный треугольник $AED'$

Получилось $AE = AD'$ из точки $A$ выходят два равных отрезка к двум точкам прямой $BC$

Эти точки разные: $CE = 2$ а $CD' = 4$ Значит, $AED'$ — настоящий равнобедренный треугольник с основанием $ED'$ которое лежит на прямой $BC$

Высота оказывается медианой

Отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $BC$ то есть это высота треугольника $AED'$ проведённая к основанию $ED'$ (перпендикуляр из $A$ на прямую $BC$ только один, поэтому его основание — именно $H$ ).

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой. Поэтому $H$ — середина отрезка $ED'$

EH = HD'.

Считаем от точки $C$

Точки $E$ и $D'$ лежат на стороне $BC$ по одну сторону от $C$ на расстояниях $2$ и $4$ от неё. Значит, $ED' = 4 - 2 = 2$ а середина $H$ отстоит от $E$ на половину этого отрезка:

EH = \frac{ED'}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1.

Заодно $CH = 3$ и точка $H$ лежит между $E$ и $D'$ то есть на отрезке $BE$ — как и сказано в условии. Ни длина боковой стороны, ни угол $B$ в этот счёт не вошли: $EH = 1$ в любом треугольнике с данными условия.

Ответ: $EH = 1$

Тот же треугольник.

AE = CD = AD'

поэтому треугольник

AED'

равнобедренный и его высота

AH

— медиана. По линейке от

C

E

на отметке

2

D'

на отметке

4

их середина

H

— на отметке

3

EH = 1

Второй вариант

Это та же задача с другими буквами: вершина $M$ играет роль $B$ $K$ — роль $A$ $L$ — роль $C$ точки $X$ и $Y$ — роли $D$ и $E$ а $P$ — роль $H$ Только спрашивают теперь не расстояние от $P$ до $Y$ а $LP$ и основание высоты лежит между $Y$ и $L$

Отметим на стороне $ML$ точку $X'$ для которой $MX' = MX$ Тогда $LX' = KX = 3$ а треугольники $KMX'$ и $LMX$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $KX' = LX = KY$ Точки $Y$ и $X'$ разные ( $LY = 7$ $LX' = 3$ ), значит, треугольник $KYX'$ равнобедренный, его высота $KP$ — медиана, и $P$ — середина $YX'$ На стороне $ML$ точки $X'$ и $Y$ отстоят от $L$ на $3$ и $7$ поэтому

LP = \frac{3 + 7}{2} = 5.

Заодно $YP = 7 - 5 = 2$ точка $P$ действительно лежит на отрезке $YL$ Ответ: $LP = 5$ Модель переключается на второй вариант кнопкой «2 вариант».

Проверка

Проверим на треугольнике с рисунков: $AB = BC = 9$ $BH = 6$ $CH = 3$ $E$ — на расстоянии $2$ от $C$ По теореме Пифагора $AH^2 = 9^2 - 6^2 = 45$ и $AE^2 = AH^2 + EH^2 = 45 + 1 = 46$ . Точка $D$ делит $AB$ так, что $BD = 5$ её проекция $F$ на $BC$ отсекает подобный треугольник: $BF = \frac{5}{9}\cdot 6 = \frac{10}{3}$ и $DF = \frac59\cdot AH$ Тогда $CF = 9 - \frac{10}{3} = \frac{17}{3}$ и

CD^2 = CF^2 + DF^2 = \frac{289}{9} + \frac{25}{81}\cdot 45 = \frac{289 + 125}{9} = 46.

Значит, $AE = CD$ и $EH = 3 - 2 = 1$ Ещё один пример — равносторонний треугольник со стороной $6$ там $H$ — середина $BC$ $CH = 3$ $EH = 1$ Компьютер проверил ответ на $400$ случайных боковых сторонах (для каждой нашёлся ровно один угол $B$ с $AE = CD$ и всегда $EH = 1$ ) и на всех $528$ треугольниках модели: $AE = CD$ ровно в $16$ из них, по одному для каждой боковой стороны, и во всех $EH = 1$

Ответ

1 вариант. $EH = 1$

2 вариант. $LP = 5$

Ответ

1 вариант. $EH = 1$

2 вариант. $LP = 5$

Главная идея

Симметрия равнобедренного треугольника переносит отрезок $CD$ в равный ему отрезок $AD'$ с началом в точке $A$ Тогда $A$ одинаково удалена от двух точек $E$ и $D'$ прямой $BC$ а основание перпендикуляра из $A$ — середина $ED'$ Отсюда $CH = \frac{CE + CD'}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ и $EH = 1$

Если в равнобедренном треугольнике даны равные отрезки, которые выходят из разных концов основания, отрази один из них относительно оси симметрии: получатся два равных отрезка из одной точки, то есть равнобедренный треугольник, в котором высота — одновременно медиана. В этой задаче так получается общее правило: $CH = \frac{AD + CE}{2}$ при любых $AD \ne CE$

Где легко ошибиться

Решить, что раз $AE = CD$ то точки $D$ и $E$ симметричны относительно оси треугольника. Тогда было бы $AD = CE$ а здесь $4 \ne 2$ симметричная $D$ точка $D'$ — другая точка стороны $BC$ а $E$ — вторая точка прямой $BC$ на том же расстоянии от $A$ Ещё ошибка — нарисовать «удобный» треугольник (например, считать $H$ серединой $BC$ ), измерить $EH$ и не объяснить, почему так будет в любом треугольнике с данными условия.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 91-я олимпиада (2025 год) · I тур (районный), 16 ноября 2024 г. · 8 класс, задача 3. Листки 7 и 8 классов этого тура озаглавлены также «Районный этап Всероссийской олимпиады школьников».

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2025 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой
Из точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Переносим отрезок CDCDCD в точку AAA

Равнобедренный треугольник AED′AED'AED′

Высота оказывается медианой

Считаем от точки CCC

Второй вариант

Проверка

Где легко ошибиться

Переносим отрезок $CD$ в точку $A$

Равнобедренный треугольник $AED'$

Считаем от точки $C$