Олимпиада СПб 2024 · Математика · 8 кл., №2

Условие

Найдите все тройки положительных чисел $x, y, z$ удовлетворяющих уравнениям

\frac x2=\frac1y+\frac 1z,\qquad \frac y2=\frac1z+\frac 1x,\qquad \frac z2=\frac1x+\frac1y.

Второй вариант этой задачи

На олимпиаде соседи по парте получают разные варианты. Условие второго варианта:

Найдите все тройки положительных чисел $a, b, c$ удовлетворяющих уравнениям

\frac a8=\frac1b+\frac 1c,\qquad \frac b8=\frac1c+\frac 1a,\qquad \frac c8=\frac1a+\frac1b.

Его решение и ответ — в последнем шаге разбора.

О задаче · 8 класс

Олимпиада: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике, 91-я (2025)
Этап: I тур (районный)
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Дата: 16 ноября 2024 г.

Сначала подбери подходящую тройку сам — начни с любых чисел. Подумай, может ли подойти тройка, в которой числа не все равны, — и как это доказать. В модели «Трое весов» каждое уравнение — это весы: поставь свои числа, уравновешивай весы по очереди, меняя одно число, и смотри, что при этом происходит с остальными.

Нужно найти все подходящие тройки и доказать, что других нет.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТрое весов

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Трое весов

Каждое уравнение — это весы: на левой чаше — левая часть уравнения, на правой — две дроби правой части. Поставь свои три числа и попробуй уравновесить все трое весов сразу. Получится ли это с числами, которые не все равны?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми на бумаге три числа, например 1; 3; 4, и в каждом уравнении сравни левую и правую части. Потом поменяй одно число так, чтобы выполнилось первое уравнение, и проверь, что стало со вторым и третьим. Попробуй добиться, чтобы выполнились два уравнения сразу, — и посмотри, какие числа у тебя получились.

Подсказка 1

Дроби мешают сравнивать уравнения между собой. Избавься от знаменателей в каждом уравнении (числа положительные, на них можно умножать) и посмотри на три получившихся равенства вместе: что у них общего?

Подсказка 2

Умножь первое уравнение на $yz$ второе — на $zx$ третье — на $xy$ Левые части станут одинаковыми: $\dfrac{xyz}{2}$ Что тогда можно сказать о правых частях — суммах двух чисел — и о самих числах $x$ $y$ $z$

Разобрать решение по шагам

Освободимся от дробей

Уравнения устроены одинаково: каждое следующее получается из предыдущего заменой $x \to y \to z \to x$ Мешают дроби — избавимся от них. Числа положительные, поэтому обе части первого уравнения можно умножить на $yz$ и равенство останется равенством:

\frac x2\cdot yz=\left(\frac1y+\frac1z\right)\cdot yz,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{xyz}{2}=z+y.

Здесь $\dfrac1y\cdot yz=z$ и $\dfrac1z\cdot yz=y$ Так же умножим второе уравнение на $zx$ а третье — на $xy$

\frac{xyz}{2}=x+z,\qquad \frac{xyz}{2}=y+x.

Обратно, разделив новое равенство на $yz$ (на $zx$ на $xy$ ), получим прежнее уравнение. Значит, новые три равенства выполняются ровно для тех же троек, что и исходные уравнения.

Левые части одинаковые — значит, равны и правые

Во всех трёх равенствах слева стоит одно и то же число $\dfrac{xyz}{2}$ Поэтому правые части равны между собой:

y+z=z+x=x+y.

Сравним первые две суммы: в обеих есть слагаемое $z$ значит, $y=x$ Сравним последние две: в обеих есть $x$ значит, $z=y$ Итак, в любой подходящей тройке

x=y=z.

Заметь: даже двух уравнений из трёх хватает, чтобы два числа совпали. Например, первое и второе вместе дают $y+z=z+x$ то есть $x=y$

Каждое уравнение — весы, как в модели. После умножения из шага 1 на левой чаше всех трёх весов лежит одно и то же

\dfrac{xyz}{2}

а на правых —

z

y

x

z

y

x

Если все трое весов в равновесии, три суммы равны. У

z+y

x+z

общее слагаемое

z

поэтому

y=x

x+z

y+x

общее

x

поэтому

z=y

Найдём это число

Обозначим общее значение $x=y=z=t$ где $t>0$ Каждое уравнение превращается в одно и то же:

\frac t2=\frac1t+\frac1t=\frac2t.

Умножим обе части на $2t$ $t^2=4$ Квадрат равен $4$ у чисел $2$ и $-2$ а $t$ положительно, поэтому $t=2$

Когда все три числа равны

t

левая часть каждого уравнения —

\dfrac t2

правая —

\dfrac2t

Первая растёт вместе с

t

вторая убывает, поэтому они совпадают только один раз — при

t=2

где обе равны

1

При меньших

t

больше правая часть, при больших — левая.

Проверка и ответ

Подставим $x=y=z=2$ в исходные уравнения: в каждом слева $\dfrac22=1$ справа $\dfrac12+\dfrac12=1$ — все три выполнены.

Других троек нет: в шаге 2 доказано, что у любой подходящей тройки все числа равны, а в шаге 3 — что тогда каждое из них равно $2$ Положительность чисел понадобилась только чтобы отбросить $t=-2$ тройка $-2$ $-2$ $-2$ тоже удовлетворяет уравнениям, но её числа отрицательные.

Ответ: $x=y=z=2$

Второй вариант

Меняются буквы и знаменатель: $8$ вместо $2$ Рассуждение то же. Умножим первое уравнение на $bc$ второе — на $ca$ третье — на $ab$

\frac{abc}{8}=c+b,\qquad \frac{abc}{8}=a+c,\qquad \frac{abc}{8}=b+a.

Левые части одинаковые, поэтому $b+c=c+a=a+b$ откуда $a=b=c=t>0$ Тогда

\frac t8=\frac1t+\frac1t=\frac2t,\qquad t^2=16,\qquad t=4.

Проверка: $\dfrac48=\dfrac12$ и $\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$ — все три уравнения выполнены. Других троек нет. Ответ: $a=b=c=4$

Проверка

Подстановка $x=y=z=2$ в исходные уравнения сделана в шаге 4. Компьютер точно, обыкновенными дробями, проверил все пары $(y, z)$ положительных чисел вида $\frac kq$ ( $q$ от $1$ до $12$ числа до $12$ — это $304\,704$ пары): первое уравнение задаёт $x=2\left(\frac1y+\frac1z\right)$ , а второе и третье выполнились только при $y=z=2$ и тогда $x=2$ С отрицательными числами добавилась только тройка $-2$ $-2$ $-2$ Ещё компьютер приближённо искал решения, начиная с $20\,000$ случайных троек, и все найденные решения — это $(2; 2; 2)$ или $(-2; -2; -2)$ Перебор не заменяет доказательства, а подтверждает его.

Ответ

1 вариант. $x=y=z=2$ — единственная подходящая тройка.

2 вариант. $a=b=c=4$ — единственная подходящая тройка.

Ответ

1 вариант. $x=y=z=2$ — единственная подходящая тройка.

2 вариант. $a=b=c=4$ — единственная подходящая тройка.

Главная идея

Умножим каждое уравнение на произведение его знаменателей — и левые части станут одинаковыми: $\dfrac{xyz}{2}=y+z=z+x=x+y$ . У равных сумм с общим слагаемым равны и остальные слагаемые, поэтому $x=y=z=t$ а тогда $\dfrac t2=\dfrac2t$ и $t=2$

Если уравнения системы «ходят по кругу» ( $x\to y\to z\to x$ ), ищи преобразование, после которого во всех уравнениях появится одна и та же часть — например, произведение $xyz$ Тогда остальные части тоже равны, и из равенств вида $y+z=z+x$ числа сравниваются напрямую.

Где легко ошибиться

Найти тройку $2$ $2$ $2$ и на этом остановиться — а ведь просят все тройки, и нужно доказать, что других нет. Другая ошибка — написать «по симметрии $x=y=z$ »: одинаковый вид уравнений сам по себе этого не доказывает (у системы $x+y=3$ $xy=2$ решения $1$ $2$ и $2$ $1$ — с разными числами), равенство чисел нужно вывести. И не потерять корень: $t^2=4$ даёт ещё $t=-2$ который отбрасывается только потому, что числа положительные.

Источник и авторство

Санкт-Петербургская олимпиада школьников по математике · 91-я олимпиада (2025 год) · I тур (районный), 16 ноября 2024 г. · 8 класс, задача 2. Листки 7 и 8 классов этого тура озаглавлены также «Районный этап Всероссийской олимпиады школьников».

Условия (PDF организатора, первый вариант) ↗ · Листки олимпиады, оба варианта (ZIP организатора) ↗ · Страница олимпиады 2025 года ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие первого варианта — из файла организатора, второй вариант переписан с листка. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Организатор не публикует решений районного тура. Ответы обоих вариантов получены двумя независимыми решениями и совпали; где можно, проверены перебором или вычислением.

На сайте олимпиады: «Распространение представленных материалов разрешается и приветствуется.»

Продолжить тему: Уравнения и системы →

Тема, знания и приёмы

Уравнения и системы · Нужна школьная база

Обе части равенства можно умножить на одно и то же ненулевое число
dfrac1y· yz = z
Если a + c = b + c, то a = b
Если t^2 = 4, то t = 2 или t = -2

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →