Математика · 8 класс · районный тур

Аркадий, Борис и Виктор катались на электросамокатах, не зная про ограничение скорости. Весь путь был разделён на два участка. Аркадий проехал первый участок со скоростью 48 км/ч, а второй — со скоростью 24 км/ч. Борис проехал первый участок со скоростью 24 км/ч, второй — с постоянной скоростью не меньше 48 км/ч. Виктор оба участка проехал с одной и той же скоростью. Стартовали все одновременно и к финишу приехали тоже одновременно. Докажите, что Виктор ехал со скоростью не меньшей, чем 32 км/ч.

По кругу стоят различные числа $y_1, y_2, \dots, y_{2021}$. Может ли случиться так, что

Прямоугольник с целыми сторонами разрезали на 10 000 прямоугольников (не обязательно с целыми сторонами), проведя 99 горизонтальных и 99 вертикальных линий. Прямоугольники разбиения покрасили в черный и белый цвета так, что никакие два прямоугольника одного цвета не имеют общей стороны. Оказалось, что периметр каждого черного прямоугольника — натуральное число, оканчивающееся на 17 или на 19. Докажите, что количество черных прямоугольников, периметр которых оканчивается на 19, делится на 50.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE$ и $AD=AC$. На отрезке $AD$ отмечена точка $X$, а на отрезке $AC$ — точка $Y$ так, что $DX=AY$. Докажите, что $EX+DY\geqslant AB$.

Дано 17 восемнадцатизначных чисел $a_1$, $a_2$, …, $a_{17}$. Могло ли так случиться, что если у всех этих чисел вычеркнуть последнюю цифру, то их сумма будет равна $2a_1$, если предпоследнюю — то $2a_2$, …, если вторую — то $2a_{17}$?