Задача 2. Числа по кругу

Каждое число не больше 3

Выразим каждое число через следующее за ним по кругу (после $y_{2021}$ снова идёт $y_1$):

Модуль не бывает отрицательным, поэтому из $3$ вычитается неотрицательное число и $y_k\le 3$. У каждого числа на круге есть следующее, значит, все числа не больше $3$.

Дальше мешает модуль: снять его можно, только зная знак числа под ним. Поэтому разберём два случая: среди чисел есть неотрицательное — или все числа отрицательные.

Неотрицательное число возвращается через одно место

Пусть какое-то число неотрицательно: $y_{k+1}=b$, где $b\ge 0$. По шагу 1 ещё и $b\le 3$. Найдём по равенствам два числа перед ним (если $b=y_1$, это $y_{2021}$ и $y_{2020}$). Сначала

Это число тоже неотрицательно, ведь $b\le 3$. Поэтому и у него модуль просто снимается:

Например, перед числом $1$ стоит $3-1=2$, а перед числом $2$ — снова $3-2=1$.

Получилось $y_{k-1}=y_{k+1}$. На круге $2021$ число — больше двух, поэтому $y_{k-1}$ и $y_{k+1}$ стоят на разных местах, а числа на них одинаковые. По условию так нельзя. Значит, неотрицательных чисел на круге нет.

Все отрицательные — лестница вниз

Остался случай, когда все числа отрицательные. Тогда $|y_{k+1}|=-y_{k+1}$, и каждое равенство $y_k+|y_{k+1}|=3$ становится таким:

Каждое следующее число на $3$ меньше предыдущего — и так для всех $2021$ равенств, включая последнее. Обходя круг по порядку, мы всё время спускаемся:

Получилось, что $y_1$ больше самого себя, — так не бывает.

Это можно и посчитать. От $y_1$ до $y_{2021}$ — $2020$ шагов вниз по $3$, поэтому $y_{2021}=y_1-6060$. А последнее равенство $y_{2021}+|y_1|=3$ при отрицательном $y_1$ означает $y_{2021}=y_1+3$. Число не может быть одновременно на $6060$ меньше $y_1$ и на $3$ больше.

Ответ и что в нём важно

Оба случая невозможны: неотрицательное число повторяется через одно место, а если все числа отрицательные, круг не замыкается. Ответ: нет, не может.

Где в рассуждении использовались условия задачи:

• Числа различные — в шаге 2. Без этого требования круг есть: если все числа равны $\dfrac32$, то каждое равенство выполнено, ведь $\dfrac32+\left|\dfrac32\right|=3$.

• Мест больше двух — тоже в шаге 2: только поэтому $y_{k-1}$ и $y_{k+1}$ — разные места. Для круга из двух чисел пример есть: $1$ и $2$, ведь $1+|2|=3$ и $2+|1|=3$.

• Само число $2021$ и его нечётность не важны: для любого круга из трёх и более чисел ответ тот же.

Второй вариант

Меняются буква и число: $x$ и $2$ вместо $y$ и $3$, а равенства уже записаны в виде $x_k=2-|x_{k+1}|$ — так, как мы переписали их в шаге 1. Рассуждение то же.

Каждое число не больше $2$, ведь $|x_{k+1}|\ge 0$.

Если какое-то число неотрицательно, $x_{k+1}=b\ge 0$ (и $b\le 2$), то

Например, перед $0{,}5$ стоит $1{,}5$, а перед $1{,}5$ — снова $0{,}5$. Числа $x_{k-1}$ и $x_{k+1}$ стоят на разных местах и равны — так нельзя.

Если все числа отрицательные, то $x_k=2+x_{k+1}$: каждое число на $2$ больше следующего, и по кругу $x_1>x_2>\dots>x_{2021}>x_1$ — противоречие.

Ответ: нет, не может. Без требования различности подходит круг, где все числа равны $1$ ($1=2-|1|$); для двух чисел пример есть: $0{,}5$ и $1{,}5$.