Задача 5. Вычёркиваем по цифре

Сложим все 17 равенств

В каждом равенстве участвуют сразу все 17 чисел, поэтому подбирать числа по одному бесполезно: исправишь одно равенство — испортятся другие (в модели это хорошо видно). Посмотрим на все равенства вместе.

Предположим, что все 17 равенств выполнены, и сложим их. Справа получится

Слева — сумма 17 сумм. В равенствах по очереди вычёркиваются последняя, предпоследняя, …, вторая цифра — то есть каждая из цифр со 2-й по 18-ю ровно один раз. Поэтому каждое число $a_j$ встречается слева 17 раз: один раз без 2-й цифры, один раз без 3-й, …, один раз без 18-й.

Обозначим через $T(a)$ сумму 17 «укороченных» копий числа $a$: без 2-й цифры, без 3-й, …, без 18-й. Тогда сложенные равенства выглядят так:

Докажем, что для любого 18-значного числа $T(a)<2a$. Тогда левая часть меньше правой, и такое равенство невозможно.

Вычеркнуть цифру — почти разделить на 10

Возьмём 18-значное число $a$ и вычеркнем у него цифру $d$ — любую, кроме первой. Начало записи слева от $d$ образует число $L$, а справа от $d$ стоят $m$ цифр, которые образуют число $R$ (если вычёркиваем последнюю цифру, то $m=0$ и $R=0$). Тогда

а после вычёркивания получается

Начало $L$ сдвинулось на одно место вправо — эта часть уменьшилась ровно в 10 раз. А конец $R$ остался на месте.

Так как $L\cdot 10^{m+1}\le a$, то $L\cdot 10^{m}\le \frac{a}{10}$. А $R$ записано $m$ цифрами, поэтому $R<10^{m}$. Получаем

Например, у числа $a=314\,159\,265\,358\,979\,323$ вычеркнем 6-ю цифру $9$. Справа от неё $m=12$ цифр, и $b=31\,415\,265\,358\,979\,323$, а $\frac{a}{10}=31\,415\,926\,535\,897\,932{,}3$. Начала у этих чисел одинаковые, отличаются только последние 12 цифр — поэтому разница меньше $10^{12}$.

Складываем 17 копий одного числа

Если вычеркнуть вторую цифру, справа от неё останется $m=16$ цифр; если третью — $m=15$; …; если последнюю — $m=0$. Сложим 17 оценок из шага 2:

Сумма в скобках — это число $11\ldots1$, записанное 17 единицами. Оно меньше $2\cdot 10^{16}$ (двойки с 16 нулями). А $a$ — 18-значное число, поэтому $a\ge 10^{17}$ и $2\cdot 10^{16}\le\frac{2a}{10}$. Значит,

Смысл простой: каждая из 17 копий — это примерно десятая часть числа $a$, вместе примерно $1{,}7a$. Маленькие «хвосты» добавляют меньше $0{,}2a$, и до $2a$ всё равно не хватает.

Вывод

Сложим неравенства $T(a_j)<2a_j$ для всех 17 чисел:

Но если бы все 17 равенств из условия выполнялись, эти две суммы были бы равны (шаг 1). Противоречие — значит, так случиться не могло.

Почему важно, что чисел именно 17? Если бы чисел было 20 и каждое было 21-значным, то подошли бы двадцать одинаковых чисел $10^{20}$ (единица и 20 нулей). Вычёркивание любой цифры, кроме первой, даёт $10^{19}$, и сумма равна $20\cdot 10^{19}=2\cdot 10^{20}$ — ровно $2a_i$. А 17 копий дают только около $1{,}7a$.

Второй вариант

Рассуждение то же. Сложим все 26 равенств: справа $3(a_1+\ldots+a_{26})$, а слева каждое $a_j$ встречается 26 раз — без 2-й цифры, без 3-й, …, без 27-й. Для 27-значного $a$ оценка шага 2 даёт

В скобках число из 26 единиц, оно меньше $2\cdot 10^{25}$. А $a\ge 10^{26}$, поэтому $2\cdot 10^{25}\le\frac{2a}{10}$ и

Значит, сумма левых частей меньше суммы правых, и все 26 равенств выполняться не могут. Как и в первом варианте, всё решает количество: 26 копий дают около $2{,}6a$, а нужно $3a$ (подошли бы тридцать 31-значных чисел $10^{30}$). Компьютер нашёл и точный наибольший результат $T(a)-3a$ среди всех 27-значных чисел — он отрицателен.