Математика · 8 класс · районный тур

На столе стоят $10$ гирь разного веса. Известно, что сумма весов пяти самых лёгких гирь равна половине суммы весов остальных. Докажите, что сумма весов шести самых лёгких гирь меньше суммы весов остальных.

Каждый из 25 детей держит в руках табличку с ненулевым числом (возможно, отрицательным), все эти числа разные. Дети построились в ряд по убыванию чисел (первое — самое большое), и Петя оказался десятым по счету. Затем дети построились по убыванию чисел, обратных к исходным (напомним, что обратным к числу $a$ называется число $1/a$), и Петя оказался шестнадцатым. Наконец, дети построились по убыванию квадратов исходных чисел (все квадраты оказались разными). Каким по счету может оказаться Петя? Приведите все варианты и объясните, почему других нет.

Внутри угла $ABC$ отмечена точка $D$. Известно, что $AB=2$, $CD=3$, $BC=4$, $\angle ABC=\angle BCD=60^\circ$. Точка $E$ — середина отрезка $BD$. Найдите $AE$.

В некоторых клетках доски $2023 \times 2023$ проведены диагонали (возможно, в некоторых клетках проведены сразу обе диагонали). Оказалось, что никакие четыре проведённые диагонали не имеют общего конца. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено?

Натуральное число $N$ имеет больше 1200 натуральных делителей (включая 1 и $N$). Все эти делители записали на доске. Саша стёр 300 наибольших и 300 наименьших из них. Среди оставшихся делителей оказалось поровну четных и нечетных. Докажите, что среди всех делителей тоже поровну четных и нечетных.