Задача 2. Три построения

Место — это сколько детей впереди

Быть десятым в ряду — значит, что впереди стоят $9$ детей. Поэтому в ряду по числам у $9$ детей число больше, чем у Пети, а в ряду по обратным у $15$ детей обратное число больше, чем у Пети.

Скажем, что ребёнок обгоняет Петю в ряду, если стоит в этом ряду впереди него. В двух первых рядах вместе получается

обгона. А детей, кроме Пети, тоже $25-1=24$. Такое совпадение подсказывает, что делать дальше: выяснить, сколько раз один ребёнок может обогнать Петю в двух первых рядах.

Обратные числа переворачивают порядок

Возьмём два числа одного знака (оба положительные или оба отрицательные), $a<b$. Вычтем их обратные:

Числитель $b-a$ положителен, потому что $b>a$. Знаменатель $ab$ тоже положителен: произведение двух чисел одного знака положительно. Значит, $\frac1a>\frac1b$ — у меньшего числа обратное больше. Например, $2<5$, но $\frac12>\frac15$; $-5<-2$, но $-\frac15>-\frac12$.

А если знаки разные, порядок не переворачивается. Обратное число того же знака, что и само число, поэтому у положительного числа и обратное положительное, а у отрицательного — отрицательное. Например, $3>-5$ и $\frac13>-\frac15$.

Сколько раз ребёнок обгоняет Петю

Пусть у Пети число $p$, а у другого ребёнка — число $x$. Разберём все случаи.

• Знаки одинаковые. Если $x>p$, ребёнок обгоняет Петю в ряду по числам, а в ряду по обратным — нет: по шагу 2 $\frac1x<\frac1p$. Если $x<p$ — наоборот. Получается ровно один обгон.

• Число $x$ положительное, а $p$ отрицательное. Тогда $x>p$ и $\frac1x>0>\frac1p$: два обгона.

• Число $x$ отрицательное, а $p$ положительное. Тогда $x<p$ и $\frac1x<0<\frac1p$: ни одного обгона.

Равенств не бывает: все числа разные, а у разных чисел и обратные разные. Таблица под этим шагом показывает все четыре сочетания знаков на примерах.

Считаем обгоны

Пусть число Пети положительное. Каждый ребёнок с положительным числом обгоняет его один раз, а с отрицательным — ни разу. Значит, обгонов столько, сколько у остальных детей положительных чисел, — не больше $24$. А обгонов ровно $24$. Значит, у всех $24$ остальных детей числа положительные.

Пусть число Пети отрицательное. Каждый ребёнок с отрицательным числом обгоняет его один раз, а с положительным — два раза, то есть на один раз больше. Значит, обгонов $24$ плюс количество детей с положительными числами. Чтобы обгонов было ровно $24$, положительных чисел быть не должно: все числа отрицательные.

Итак, у всех $25$ детей числа одного знака — того же, что у Пети.

Ряд по квадратам

Если все числа положительные, то у большего числа и квадрат больше: при $0<a<b$

Значит, ряд по квадратам такой же, как ряд по числам, и Петя в нём десятый.

Если все числа отрицательные, то всё наоборот: при $a<b<0$ числа $-a$ и $-b$ положительные и $-a>-b$, поэтому

У меньшего числа квадрат больше: например, $-5<-2$, но $25>4$. Значит, ряд по квадратам — это ряд по числам задом наперёд. В ряду по числам за Петей стоят $25-1-9=15$ детей — в ряду по квадратам они окажутся перед ним, и Петя шестнадцатый.

Оба места бывают

Осталось показать, что оба ответа действительно получаются.

• Числа $1,2,\ldots,25$, у Пети $16$. Больше $16$ — числа $17,\ldots,25$, их $9$: Петя десятый. Обратные больше $\frac1{16}$ у чисел $1,\ldots,15$, их $15$: Петя шестнадцатый. Квадраты больше $16^2=256$ у тех же $9$ чисел $17,\ldots,25$: по квадратам Петя десятый.

• Числа $-1,-2,\ldots,-25$, у Пети $-10$. Больше $-10$ — числа $-1,\ldots,-9$, их $9$: Петя десятый. Обратное $-\frac1k$ больше $-\frac1{10}$, когда $\frac1k<\frac1{10}$, то есть при $k=11,\ldots,25$ — таких чисел $15$: Петя шестнадцатый. Квадраты больше $100$ у чисел $-11,\ldots,-25$, их $15$: по квадратам Петя шестнадцатый.

В обоих примерах все числа разные и ненулевые, все квадраты тоже разные. На рисунке под этим шагом видно, почему ответы разные: в обоих классах справа от Пети $9$ больших чисел, слева $15$ меньших, а большие квадраты оказываются по разные стороны.

Ответ: десятым или шестнадцатым.

Второй вариант

Рассуждение то же, меняются только числа. Вася восьмой по числам — впереди $7$ детей; двенадцатый по обратным — впереди $11$ детей. Всего обгонов

а детей, кроме Васи, $19-1=18$ — снова ровно по одному обгону на каждого.

Как в шагах 2–4: ребёнок того же знака обгоняет Васю ровно один раз, с положительным числом при отрицательном Васе — два раза, с отрицательным при положительном — ни разу. Поэтому если число Васи положительное, все $19$ чисел положительные, ряд по квадратам совпадает с рядом по числам, и Вася восьмой. Если отрицательное — все числа отрицательные, ряд по квадратам — ряд по числам задом наперёд: перед Васей окажутся $19-1-7=11$ детей, и он двенадцатый.

Примеры: числа $1,2,\ldots,19$ и у Васи $12$ — места $8$, $12$, $8$; числа $-1,-2,\ldots,-19$ и у Васи $-8$ — места $8$, $12$, $12$.

Ответ: восьмым или двенадцатым.