Математика · 7 класс · районный тур

Богатырь И. Муромец рубится с З. Горынычем, у которого 444 головы. Одним взмахом меча он может отсечь змею одну голову или сразу 10 голов (конечно, если их было не меньше 10). Однако, если после отсечения осталось чётное число голов, то число голов сразу же удваивается. Сможет ли богатырь отрубить З. Горынычу все его головы? Не забудьте обосновать свой ответ.

Каждый из $25$ детей держит в руках табличку с ненулевым числом (возможно, отрицательным), все эти числа разные. Дети построились в ряд по убыванию чисел (первое — самое большое), и Петя оказался десятым по счету. Затем дети построились по убыванию чисел, обратных к исходным (напомним, что обратным к числу $a$ называется число $1/a$), и Петя оказался шестнадцатым. Наконец, дети построились по убыванию квадратов исходных чисел (все квадраты оказались разными). Каким по счету может оказаться Петя? Приведите все варианты и объясните, почему других нет.

Натуральное число $N$ имеет больше 400 натуральных делителей (включая 1 и $N$). Все эти делители записали на доске. Саша стёр сто наибольших и сто наименьших из них. Среди оставшихся делителей оказалось поровну четных и нечетных. Докажите, что если бы вместо этого он стёр двести наибольших и двести наименьших делителей, среди оставшихся тоже оказалось бы поровну четных и нечетных.

В некоторых клетках доски $9 \times 9$ проведены диагонали (возможно, в некоторых клетках проведены сразу обе диагонали). Оказалось, что никакие четыре проведённые диагонали не имеют общего конца. Какое наибольшее число диагоналей может быть проведено?