Задача 1. Гири на весах

Обозначим веса и выразим обе суммы

Расставим гири по возрастанию веса и обозначим их веса

Пять самых лёгких — это $a_1,\ldots,a_5$; пусть их сумма равна $S$:

Остальные пять гирь — самые тяжёлые. По условию $S$ — половина их суммы, значит, они весят вдвое больше:

Теперь вопрос задачи. Шесть самых лёгких гирь — это те же пять лёгких и ещё гиря $a_6$. А «остальные» — это пять тяжёлых без гири $a_6$. Получается, сравнить нужно

Всё свелось к одному вопросу: насколько тяжёлой может быть гиря $a_6$?

Шестая гиря не тяжелее среднего

Гиря $a_6$ — самая лёгкая из пяти тяжёлых. Каждая из гирь $a_7$, $a_8$, $a_9$, $a_{10}$ тяжелее неё. Поэтому если заменить каждую из них гирей весом $a_6$, сумма уменьшится:

Слева стоит $2S$, значит, $5a_6<2S$, то есть

По-другому: самая лёгкая из пяти гирь весит меньше, чем они в среднем, а в среднем на одну гирю приходится $\frac{2S}{5}$.

Перекладываем гирю и сравниваем

Подставим оценку из шага 2 в обе суммы из шага 1. Шесть самых лёгких весят

а четыре остальных —

Вес $S$ положительный, поэтому $\frac{7S}{5}<\frac{8S}{5}$. Получилась цепочка

Значит, шесть самых лёгких гирь весят меньше четырёх остальных, что и требовалось доказать. Более того, разница больше $\frac{S}{5}$ — пятой части веса пяти лёгких гирь.

Что дало каждое условие

• «Сумма пяти лёгких — половина суммы остальных» дала вес пяти тяжёлых: $2S$. Без этого условия утверждение неверно: у гирь $100,101,\ldots,109$ кг шесть самых лёгких весят $615$ кг, а четыре остальных — только $430$ кг.

• «Шесть самых лёгких» — это значит, что к лёгким добавляется именно самая лёгкая из тяжёлых гирь. Будь она самой тяжёлой, оценка через среднее не помогла бы.

• «Разного веса» нужно, чтобы было понятно, какие пять гирь самые лёгкие. В оценке оно почти не используется: даже если бы некоторые гири весили одинаково, вышло бы $a_6\le\frac{2S}{5}$ и тот же вывод.

Второй вариант

Гирь $11$, лёгкая группа — шесть гирь, а вопрос задан «с другой стороны»: четыре самые тяжёлые против семи остальных. Но сравнение то же самое: группы снова отличаются от групп условия одной гирей.

Расставим веса по возрастанию: $b_1<b_2<\ldots<b_{11}$. Пусть шесть самых лёгких весят $S=b_1+\ldots+b_6$; по условию пять самых тяжёлых весят $b_7+\ldots+b_{11}=2S$. Четыре самые тяжёлые — это пять тяжёлых без $b_7$, они весят $2S-b_7$; семь остальных — шесть лёгких и $b_7$, они весят $S+b_7$.

Гиря $b_7$ — самая лёгкая из пяти тяжёлых, поэтому $5b_7<2S$, то есть $b_7<\frac{2S}{5}$. Отсюда

Значит, четыре самые тяжёлые гири весят больше семи остальных. Пример: лёгкие $10$–$15$ кг ($S=75$), тяжёлые $28$–$32$ кг ($150$ кг): четыре тяжёлые весят $122$ кг, семь остальных — $103$ кг.