Задача 3. Точка внутри угла

Где лежит точка D

Из точки $C$ можно отложить два луча под углом $60^\circ$ к $CB$: один над прямой $BC$, другой под ней. Точка $D$ лежит внутри угла $ABC$, значит, по ту же сторону от прямой $BC$, что и точка $A$. Так что луч $CD$ идёт от $BC$ в ту же сторону, что и луч $BA$.

На чертеже получились два угла по $60^\circ$ при концах отрезка $BC$. Такие углы есть у равностороннего треугольника — попробуем его достроить.

Достраиваем равносторонний треугольник

Построим на отрезке $BC$ равносторонний треугольник $KBC$ по ту же сторону от $BC$, что и точка $A$. Все его углы равны $60^\circ$, а стороны равны $BC$:

Угол $KBC$ равен $60^\circ$, как и угол $ABC$, и точки $K$ и $A$ лежат по одну сторону от $BC$ — значит, лучи $BK$ и $BA$ совпадают. Точно так же совпадают лучи $CK$ и $CD$: $\angle KCB = \angle DCB = 60^\circ$, и $D$ тоже по эту сторону от $BC$.

Иначе говоря, $K$ — это точка пересечения лучей $BA$ и $CD$, и треугольник $KBC$ — равносторонний со стороной $4$.

Где на сторонах лежат A и D

Точка $A$ лежит на луче $BK$, и $BA = 2$, а $BK = 4$. Значит, $A$ — середина стороны $BK$: $BA = AK = 2$.

Точка $D$ лежит на луче $CK$, и $CD = 3 < 4 = CK$, поэтому $D$ лежит на стороне $CK$ и

Средняя линия

Рассмотрим треугольник $BKD$. Точка $A$ — середина его стороны $BK$, точка $E$ — середина стороны $BD$ (по условию). Отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия: он параллелен третьей стороне и равен её половине. Поэтому $AE \parallel KD$ и

Второй вариант

Здесь та же идея, но роли точек другие: середина дана на стороне, которую надо найти, а равносторонний треугольник стоит «посередине» стороны угла.

Точка $U$ внутри угла $XYZ$, значит, по ту же сторону от прямой $XY$, что и $Z$. Построим на $XY$ равносторонний треугольник $XYW$ по эту сторону. Угол $XYW = 60^\circ = \angle XYZ$, поэтому $W$ лежит на луче $YZ$; угол $YXW = 60^\circ = \angle YXU$, поэтому $U$ лежит на луче $XW$. Итак, $W$ — точка пересечения луча $XU$ с лучом $YZ$, и

Так как $YZ = 8$, точка $W$ — середина $YZ$. Точка $U$ лежит на отрезке $XW$ ($XU = 1 < 4$), поэтому $UW = 4 - 1 = 3$.

По условию $YU = UT$ и $T$ на луче $YU$, то есть $U$ — середина $YT$. В треугольнике $YTZ$ отрезок $UW$ соединяет середины сторон $YT$ и $YZ$ — это средняя линия, поэтому

Проверка в координатах: $Y(0;\,0)$, $Z(8;\,0)$, $X(2;\,2\sqrt3)$, $U\left(\frac52;\,\frac{3\sqrt3}{2}\right)$, $T(5;\,3\sqrt3)$, $TZ^2 = 3^2 + 27 = 36$.