Физтех 2025/26, Физика 11, финал №5 · вар. 11-01 — Тёмный овал на дне озера: решение

Условие

В сумерках Вова с Леной отправились к берегу озера. Лена посветила лучом лазерной указки на спокойную поверхность воды и увидела яркую точку (небольшое яркое пятно) на мелкопесчаном дне, на глубине нескольких сантиметров. Эта точка находилась внутри тёмной овальной области, окружённой светлым кольцом (см. рис.). Внутренняя граница кольца была достаточно чёткой, а внешняя размытой. Овальная область имела ось симметрии – ось $x$ Вова осторожно вошел в воду и с помощью погружённой в воду линейки сумел определить некоторые размеры овальной области на дне: $b = 12$ см и $c/a = 1{,}1$ Показатель преломления воды $n = 4/3$ наклон дна к горизонту постоянный.

1. Назовите физическое явление, из-за которого формируется достаточно четкая граница между тёмной областью и светлым кольцом. 2. Найти расстояние $h_0$ от яркой точки до поверхности воды. 3. На каком расстоянии $L$ считая по горизонтали, от кромки воды (берега) находится яркая точка на дне?

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Яркая точка рассеивает свет во все стороны. Какие лучи, дойдя до поверхности воды снизу, вернутся на дно почти полностью, а какие в основном выйдут в воздух? Где ближе всего к точке упадёт «вернувшийся» свет? В модели подбери глубину и наклон дна так, чтобы овал совпал с измерениями Вовы. Ниже можно сверить ответ пункта 2 — глубину $h_0$ в сантиметрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЛазер и дно озера

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Лазер и дно озера

Какие лучи образуют чёткую границу тёмного овала и как по его размерам найти глубину и наклон дна?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй разрез: яркая точка на дне, поверхность воды и лучи под предельным углом, отражённые обратно на дно.

Подсказка 1

Это полное внутреннее отражение: лучи, падающие на поверхность воды под углом не меньше предельного $\beta$ $\sin\beta = 1/n$ отражаются целиком. Граница тёмной области — место, куда падают отражённые лучи с углом ровно $\beta$ Поперёк склона дно горизонтально — там граница на расстоянии $2h_0\operatorname{tg}\beta$ от яркой точки.

Подсказка 2

Вдоль оси $x$ дно наклонено. В сторону глубины отражённому лучу дольше опускаться, и он падает дальше. Запиши, что горизонтальный путь луча вверх и вниз складывается: $X = h_0\operatorname{tg}\beta + (h_0 \pm X\operatorname{tg}\gamma)\operatorname{tg}\beta$ . Отношение $c/a$ даёт $\operatorname{tg}\gamma$ а берег — там, где дно поднимается до поверхности.

Разобрать решение по шагам

Откуда тёмный овал и светлое кольцо

Яркая точка $S$ рассеивает свет во все стороны вверх. Луч, падающий на поверхность воды под углом меньше предельного, частично выходит в воздух и частично отражается. У почти вертикальных лучей отражается лишь около 2 % света, но чем ближе угол к предельному, тем быстрее растёт отражённая доля. Под углом $\beta$ и больше, где

\sin\beta = \frac1n = \frac34,

происходит полное внутреннее отражение: весь свет возвращается на дно и освещает его — получается светлое кольцо. Ближе всего к $S$ падают лучи с углом ровно $\beta$ а отражённая доля резко нарастает как раз перед этим углом, поэтому внутренняя граница кольца чёткая. Внутри неё на дно возвращается лишь часть света, в основном от крутых лучей, которые почти целиком выходят в воздух, — область заметно темнее. Дальше от $S$ отражённый свет распределяется по всё большей площади, и кольцо постепенно гаснет — внешняя граница размыта.

Глубина яркой точки

Поперёк склона (вдоль оси $y$ ) глубина не меняется. Луч под углом $\beta$ поднимается на $h_0$ и смещается по горизонтали на $h_0\operatorname{tg}\beta$ , затем отражается и опускается обратно — ещё на столько же. Он падает на дно на расстоянии $b = 2h_0\operatorname{tg}\beta$ от $S$ Так как $\cos\beta = \sqrt{1 - 9/16} = \sqrt7/4$ ,

\operatorname{tg}\beta = \frac{3}{\sqrt7},\qquad h_0 = \frac{b}{2\operatorname{tg}\beta} = \frac{12\sqrt7}{6} = 2\sqrt7\ \text{см} \approx 5{,}3\ \text{см}.

Поперёк склона: лучи под углом β и больше полностью отражаются. Ближайшие к S точки, куда приходит отражённый свет, — на расстоянии b = 2h₀·tg β.

Наклон дна

Вдоль оси $x$ дно наклонено на угол $\gamma$ пусть $c$ — сторона глубины. Отражённый луч, ушедший по горизонтали на $X$ в сторону глубины, должен опуститься до дна на $h_0 + X\operatorname{tg}\gamma$ . Его горизонтальный путь вверх и вниз:

X = h_0\operatorname{tg}\beta + (h_0 + X\operatorname{tg}\gamma)\operatorname{tg}\beta\ \Rightarrow\ X_c = \frac{2h_0\operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma}.

В сторону берега дно ближе: $X_a = \dfrac{2h_0\operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma}$ . Вдоль дна оба расстояния больше горизонтальных в одно и то же число раз $1/\cos\gamma$ поэтому

\frac ca = \frac{1 + \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma}{1 - \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma} = 1{,}1\ \Rightarrow\ \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma = \frac{0{,}1}{2{,}1} = \frac1{21},\qquad \operatorname{tg}\gamma = \frac{\sqrt7}{63}.

Дно наклонено примерно на $2{,}4^\circ$

Вдоль оси x (наклон дна преувеличен): в сторону глубины луч падает дальше (N, расстояние c), в сторону берега — ближе (M, расстояние a).

Расстояние до берега

Кромка воды — там, где дно поднимается до поверхности. Яркая точка на глубине $h_0$ дно поднимается к берегу с наклоном $\gamma$ поэтому по горизонтали

L = \frac{h_0}{\operatorname{tg}\gamma} = 2\sqrt7\cdot\frac{63}{\sqrt7} = 126\ \text{см}.

Проверка

Проверим числами. По горизонтали $X_c = 12/(1 - 1/21) = 12{,}6$ см и $X_a = 12/(1 + 1/21) \approx 11{,}45$ см, их отношение ровно $1{,}1$ Наклон очень мал, $\cos\gamma \approx 0{,}9991$ , так что вдоль дна расстояния почти те же. Форма границы:

X(\varphi) = \dfrac{2h_0\operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma\cos\varphi}

— полярное уравнение её горизонтальной проекции: это эллипс с фокусом в проекции яркой точки, и ось $x$ — его ось симметрии, как в условии. На самом наклонном дне длины вдоль склона в $1/\cos\gamma$ раз больше горизонтальных: в координатах дна ( $u$ — вдоль склона, $v$ — поперёк) граница задаётся уравнением $(u\cos\gamma)^2 + v^2 = \operatorname{tg}^2\beta\,(2h_0 + u\sin\gamma)^2$ . Это тоже эллипс, слегка растянутый вдоль склона, и точка $S$ уже не его фокус; при таком малом наклоне разница меньше $0{,}1\,\%$ и на ответы не влияет. В проверочном файле лучи прослежены в пространстве с отражением от поверхности до наклонного дна, а $h_0$ и $\gamma$ подобраны по $b$ и $c/a$ — получилось $h_0 = 5{,}2915$ см и $L = 126{,}0$ см.

Ответ

1) Полное внутреннее отражение; 2) $h_0 = 2\sqrt7$ см $\approx 5{,}3$ см; 3) $L = 126$ см.

Ответ

1) Полное внутреннее отражение; 2) $h_0 = 2\sqrt7$ см $\approx 5{,}3$ см; 3) $L = 126$ см.

Главная идея

Чёткая граница тёмной области — след лучей, падающих на поверхность под предельным углом полного внутреннего отражения. Поперёк склона она даёт глубину, вдоль склона — наклон дна.

Светящаяся точка под водой, тёмный круг или овал на дне со светлым кольцом; спрашивают о глубине или наклоне дна.

Где легко ошибиться

Считать, что граница образована преломлёнными лучами, вышедшими из воды; брать расстояние h₀·tg β вместо 2h₀·tg β; путать, с какой стороны дно глубже.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 5.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Отражение и изображение →

Тема, знания и приёмы

Отражение и изображение · Начальный вход

Закон преломления
Предельный угол полного внутреннего отражения
Тангенс угла и подобные треугольники

Приёмы решения: Закон отражения · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →