Физтех 2025/26, Физика 11, финал №1 · вар. 11-01 — Бусинки на спице: решение

Условие

Небольшие бусинки А и В соединены шарнирно жесткой спицей АВ длиной $L$ и могут двигаться по двум взаимно перпендикулярным направляющим ON и OM, расположенным в вертикальной плоскости (см. рис.). По спице АВ может двигаться с трением небольшая бусинка С массой $m$ Бусинку В двигают так, что модуль скорости бусинки С остается постоянным и она не движется по спице, оставаясь в ее середине. В некоторый момент скорость бусинки В равна $V_0$ а $\sin\alpha = \sqrt6/3$

1. Найти скорость бусинки С. 2. Найти в этот момент модуль силы трения между спицей и бусинкой С. 3. Найти в этот момент модуль силы реакции, действующей на бусинку С со стороны спицы.

Известно, что маленький шарик массой $m$ прикрепленный к нити длиной $L$ и движущийся со скоростью $V_0$ по окружности радиусом $L$ на гладком горизонтальном столе, растягивает нить с силой $2mg$ В задаче известными считать $V_0$ и $m$

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

На каком расстоянии от точки O всё время находится середина спицы? Если ответить на этот вопрос, станет ясно, по какой линии движется бусинка C и куда направлено её ускорение. В модели запусти механизм и найди момент, когда скорость B равна $V_0$ Ниже можно сверить ответ пункта 1 — скорость C в долях $V_0$ (например, $0{,}5$ — это половина $V_0$ ).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМеханизм с бусинками

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Механизм с бусинками

По какой линии движется бусинка C и как найти её скорость в момент, когда скорость B равна V₀?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй несколько положений спицы AB и отметь середину: на какой линии лежат эти точки?

Подсказка 1

Треугольник AOB прямоугольный, а C — середина его гипотенузы. Чему равна медиана, проведённая к гипотенузе? Ответ подскажет, по какой линии движется C и куда направлена её скорость.

Подсказка 2

$OC = L/2$ поэтому C идёт по окружности с центром O и её скорость перпендикулярна OC. Спица жёсткая: проекции скоростей B и C на неё равны — отсюда скорость C. Раз модуль скорости C постоянен, её ускорение направлено к O и равно $V^2/(L/2)$ Условие про шарик на нити даёт $V_0^2/L = 2g$ Запиши второй закон Ньютона для C: $m\vec a = m\vec g + \vec F$ . Проекция на спицу даёт трение, а $\vec F = m\vec a - m\vec g$ — всю силу со стороны спицы.

Разобрать решение по шагам

Бусинка C идёт по окружности

Треугольник AOB прямоугольный (угол O прямой), а C — середина гипотенузы AB. Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому всегда

OC = \frac L2.

Бусинка C движется по окружности радиуса $L/2$ с центром O. Треугольник OCB равнобедренный ( $OC = CB = L/2$ ), значит, отрезок OC наклонён к OM под тем же углом $\alpha$ что и спица.

Скорость бусинки C

Скорость C перпендикулярна радиусу OC. Угол OCB при вершине равнобедренного треугольника равен $180^\circ - 2\alpha$ поэтому скорость C составляет со спицей угол $2\alpha - 90^\circ$

Спица жёсткая: проекции скоростей её точек на спицу равны. Для B (скорость $V_0$ вдоль OM) это $V_0\cos\alpha$ для C — $V\cos(2\alpha - 90^\circ) = V\sin 2\alpha$ :

V\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha = V_0\cos\alpha \ \Rightarrow\ V = \frac{V_0}{2\sin\alpha} = \frac{3V_0}{2\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{4}V_0 \approx 0{,}61\,V_0.

C — середина гипотенузы, поэтому она идёт по окружности радиуса L/2. Скорость C перпендикулярна OC; проекции скоростей B и C на спицу равны.

Ускорение бусинки C

Модуль скорости C постоянен, значит, у неё только центростремительное ускорение — к центру O:

a = \frac{V^2}{L/2} = \frac{2}{L}\cdot\frac{6V_0^2}{16} = \frac{3V_0^2}{4L}.

Условие про шарик на нити: $\dfrac{mV_0^2}{L} = 2mg$ то есть $\dfrac{V_0^2}{L} = 2g$ Поэтому

a = \frac34\cdot 2g = \frac32\,g.

Сила трения

На C действуют сила тяжести $m\vec g$ и сила со стороны спицы $\vec F$ трение вдоль спицы и нормальная сила поперёк неё. Бусинка не скользит по спице, но вместе со спицей движется с ускорением $\vec a$

m\vec a = m\vec g + \vec F_\text{тр} + \vec N.

Спроецируем на спицу в направлении от A к B. Нормальная сила проекции не даёт. Сила тяжести даёт $mg\sin\alpha$ Ускорение направлено по CO, а угол между CO и CB равен $180^\circ - 2\alpha$ поэтому его проекция $a\cos(180^\circ - 2\alpha) = -a\cos 2\alpha$ . Здесь $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = -\dfrac13$ , и проекция ускорения равна $\dfrac a3 = \dfrac g2$

m\frac g2 = mg\frac{\sqrt6}{3} + F_\text{тр}\ \Rightarrow\ F_\text{тр} = -\left(\frac{\sqrt6}{3} - \frac12\right)mg.

Минус значит, что трение направлено вдоль спицы к A. Модуль силы трения

F_\text{тр} = \frac{2\sqrt6 - 3}{6}\,mg \approx 0{,}32\,mg.

Вся сила со стороны спицы

Сила реакции спицы — это вся сила $\vec F = \vec F_\text{тр} + \vec N$ , с которой спица действует на бусинку. Из второго закона Ньютона $\vec F = m\vec a - m\vec g$ . Угол между $\vec a$ (к O) и $\vec g$ (вниз) таков, что $\cos\theta = \sin\alpha$ OC наклонён к горизонтали под углом $\alpha$ По теореме косинусов

F^2 = (ma)^2 + (mg)^2 - 2\,ma\cdot mg\sin\alpha = m^2g^2\left(\frac94 + 1 - \sqrt6\right),

F = \frac12\sqrt{13 - 4\sqrt6}\;mg \approx 0{,}89\,mg.

mg + F = ma: сила со стороны спицы F замыкает треугольник векторов. Её составляющая вдоль спицы — сила трения.

Проверка

Проверим скорость координатами. $x_B = L\cos\alpha$ $y_A = L\sin\alpha$ а C — середина: $\vec V = \tfrac12(V_0;\ \dot y_A)$ . Из $x_B^2 + y_A^2 = L^2$ получаем $x_BV_0 + y_A\dot y_A = 0$ то есть $\dot y_A = -V_0\operatorname{ctg}\alpha$ , и $V = \tfrac{V_0}{2}\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \tfrac{V_0}{2\sin\alpha}$ — то же. Для сил найдём нормальную составляющую отдельно:

N = m\,|g\cos\alpha - a\sin 2\alpha| = mg\left(\sqrt2 - \tfrac{\sqrt3}{3}\right) \approx 0{,}837\,mg

. Тогда $\sqrt{F_\text{тр}^2 + N^2} \approx \sqrt{0{,}100 + 0{,}700} \approx 0{,}895\,mg$ — совпадает с пунктом 3. В проверочном файле скорость и ускорение C найдены численным дифференцированием по движению механизма.

Ответ

1) $V = \dfrac{V_0}{2\sin\alpha} = \dfrac{\sqrt6}{4}V_0 \approx 0{,}61\,V_0$ ; 2) $F_\text{тр} = \dfrac{2\sqrt6 - 3}{6}\,mg \approx 0{,}32\,mg$ ; 3) $F = \dfrac12\sqrt{13 - 4\sqrt6}\;mg \approx 0{,}89\,mg$ .

Ответ

Главная идея

Середина гипотенузы равноудалена от вершины прямого угла, поэтому бусинка C идёт по окружности, а при постоянной скорости её ускорение направлено к центру.

Стержень скользит концами по двум перпендикулярным направляющим; спрашивают о движении его середины.

Где легко ошибиться

Считать, что скорость C равна полусумме модулей скоростей A и B; забыть, что бусинка ускоряется вместе со спицей; принять за «силу реакции» только нормальную составляющую.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Скорости точек жёсткого стержня
Центростремительное ускорение
Второй закон Ньютона в проекциях

Приёмы решения: Относительное движение · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →