Физика · 11 класс · Физтех 2025/26 · заключительный этап

Задача 4. Частица в скрещенных полях

Условие

В скрещенных электрическом и магнитном полях (вектор E⃗\vec E напряженности однородного электрического поля перпендикулярен вектору индукции B⃗\vec B однородного магнитного поля) частице массой mm и зарядом q>0q > 0 в точке С сообщили скорость V0V_0, параллельную вектору E⃗\vec E (см. рис.). Через некоторое время частица оказалась в точке A, где вектор ее скорости первый раз повернулся на 90∘90^\circ.

1. Найти радиус RCR_C кривизны траектории частицы в точке С. 2. Найти скорость VAV_A частицы в точке А. 3. Найти радиус RAR_A кривизны траектории частицы в точке А.

Движение частицы нерелятивистское. Считать, что V0=3E/BV_0 = \sqrt3E/B. Ответы выразить через BB, EE, mm, qq.

BECV0
Рисунок к условию
О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон
2025/26

Радиус кривизны определяется силой, перпендикулярной скорости: mv2/R=F⊥mv^2/R = F_\perp. Какая из двух сил в точке C перпендикулярна скорости? Для точки A подумай, в какую сторону сначала поворачивает скорость и как изменяется её модуль. В модели запусти частицу — она остановится в точке A. Ниже можно сверить ответ пункта 2 — скорость VAV_A в единицах E/BE/B.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЧастица в скрещенных полях

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Частица в скрещенных полях

Как движется частица в скрещенных полях и какой будет её скорость, когда скорость повернётся на 90°?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй начало траектории от точки C: в какую сторону сначала поворачивает скорость и как меняется её модуль?

Подсказка 1

В точке C скорость параллельна E⃗\vec E, поэтому электрическая сила меняет только модуль скорости, а поперёк скорости действует только магнитная сила qV0BqV_0B. Для точки A удобно перейти в систему отсчёта, которая движется со скоростью E/BE/B в направлении E⃗×B⃗\vec E\times\vec B (на рисунке — влево): в ней электрического поля нет.

Подсказка 2

В движущейся системе частица идёт по окружности с постоянной скоростью w=V02+(E/B)2=2E/Bw = \sqrt{V_0^2 + (E/B)^2} = 2E/B, а в лабораторной v⃗=u⃗+w⃗\vec v = \vec u + \vec w. Скорость впервые повернётся на 90∘90^\circ, когда w⃗\vec w станет горизонтальным и направленным влево. В точке A на частицу вниз действует qVABqV_AB, вверх — qEqE.

Разобрать решение по шагам
1

Радиус кривизны в точке C

В точке C скорость направлена вдоль E⃗\vec E: электрическая сила qE⃗q\vec E действует вдоль скорости и меняет только её модуль. Поперёк скорости действует магнитная сила qV0BqV_0B — она и задаёт кривизну:

mV02RC=qV0B ⇒ RC=mV0qB=3 mEqB2.\frac{mV_0^2}{R_C} = qV_0B\ \Rightarrow\ R_C = \frac{mV_0}{qB} = \frac{\sqrt3\,mE}{qB^2}.
2

Система отсчёта без электрического поля

Пусть система отсчёта движется со скоростью u⃗\vec u, u=E/Bu = E/B, в направлении E⃗×B⃗\vec E\times\vec B — на рисунке влево. Скорость частицы в ней w⃗=v⃗−u⃗\vec w = \vec v - \vec u, а сила

F⃗=qE⃗+q(u⃗+w⃗)×B⃗=(qE⃗+q u⃗×B⃗)+q w⃗×B⃗.\vec F = q\vec E + q(\vec u + \vec w)\times\vec B = \bigl(q\vec E + q\,\vec u\times\vec B\bigr) + q\,\vec w\times\vec B.

Скорость u⃗\vec u выбрана так, что q u⃗×B⃗=−qE⃗q\,\vec u\times\vec B = -q\vec E: скобка равна нулю. В этой системе на частицу действует только магнитная сила, и частица равномерно движется по окружности против часовой стрелки.

В начале w⃗C=V⃗0−u⃗\vec w_C = \vec V_0 - \vec u: вверх V0V_0 и вправо E/BE/B, поэтому

w=V02+E2B2=3+1 EB=2EB.w = \sqrt{V_0^2 + \frac{E^2}{B^2}} = \sqrt{3 + 1}\,\frac EB = \frac{2E}{B}.
3

Скорость в точке A

В лабораторной системе v⃗=u⃗+w⃗\vec v = \vec u + \vec w, где u⃗\vec u постоянен, а w⃗\vec w поворачивается против часовой стрелки. В начале w⃗\vec w направлен под углом 60∘60^\circ к горизонтали (вверх-вправо). Скорость v⃗\vec v сначала направлена вверх и поворачивает влево. На 90∘90^\circ она повернётся, когда станет горизонтальной и направленной влево. Это случится, когда горизонтальным станет w⃗\vec w, то есть повернётся до направления «влево». Тогда обе скорости направлены влево и складываются:

VA=u+w=EB+2EB=3EB.V_A = u + w = \frac EB + \frac{2E}{B} = \frac{3E}{B}.
uwCV0wAVA = u + w = 3E/B0u = E/B — постояннаw = 2E/B — вращается против часовой
Диаграмма скоростей: v = u + w. Конец вектора v бежит по окружности радиуса 2E/B; поворот на 90° — самая левая точка окружности, где VA = 3E/B.
4

Радиус кривизны в точке A

В точке A скорость направлена влево, поэтому магнитная сила qVAB=3qEqV_AB = 3qE направлена вниз, а электрическая qEqE — вверх. Обе перпендикулярны скорости. Их равнодействующая qVAB−qE=2qEqV_AB - qE = 2qE направлена вниз, к центру кривизны:

mVA2RA=qVAB−qE ⇒ RA=m⋅9E2/B22qE=9mE2qB2.\frac{mV_A^2}{R_A} = qV_AB - qE\ \Rightarrow\ R_A = \frac{m\cdot 9E^2/B^2}{2qE} = \frac{9mE}{2qB^2}.
CV0VAqEqVABAEB
Траектория от C до A и дальше (пунктир). В точке A магнитная сила 3qE вниз больше электрической qE вверх; их разность 2qE искривляет траекторию.

Проверка

Проверим VAV_A без перехода в другую систему. Ось xx направим вправо, ось yy — вдоль E⃗\vec E. По оси xx действует только магнитная сила: m ΔVx=−qB Δym\,\Delta V_x = -qB\,\Delta y. Закон сохранения энергии: qEy=m2(V2−V02)qEy = \tfrac m2(V^2 - V_0^2). В точке A Vy=0V_y = 0, а Vx=−qBmyV_x = -\tfrac{qB}{m}y. Исключив yy, получаем Vx2+2EBVx−V02=0V_x^2 + 2\tfrac EB V_x - V_0^2 = 0, откуда Vx=−EB±2EBV_x = -\tfrac EB \pm \tfrac{2E}{B}. Скорость повернулась влево, значит Vx=−3E/BV_x = -3E/B — то же, что в шаге 3. Заодно yA=3mE/(qB2)y_A = 3mE/(qB^2). В проверочном файле движение проинтегрировано численно; радиусы кривизны RCR_C и RAR_A найдены по формуле v3/∣vxay−vyax∣v^3/|v_xa_y - v_ya_x|.

Ответ

1) RC=mV0qB=3 mEqB2R_C = \dfrac{mV_0}{qB} = \dfrac{\sqrt3\,mE}{qB^2}; 2) VA=3EBV_A = \dfrac{3E}{B}; 3) RA=9mE2qB2R_A = \dfrac{9mE}{2qB^2}.

Ответ

1) RC=mV0qB=3 mEqB2R_C = \dfrac{mV_0}{qB} = \dfrac{\sqrt3\,mE}{qB^2}; 2) VA=3EBV_A = \dfrac{3E}{B}; 3) RA=9mE2qB2R_A = \dfrac{9mE}{2qB^2}.

Главная идея

В системе, движущейся со скоростью E/B перпендикулярно полям, электрическое поле исчезает и частица идёт по окружности; в лабораторной системе скорость — сумма постоянного дрейфа и вращающегося вектора.

Заряд в скрещенных однородных полях E ⊥ B; спрашивают о скорости или радиусе кривизны в характерной точке траектории.

Где легко ошибиться

Считать радиус кривизны в A по одной магнитной силе; учитывать электрическую силу в C поперёк скорости; путать направление дрейфа или поворота.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 4.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →
Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Продвинутая подготовка

  • Сила Лоренца
  • Радиус кривизны траектории
  • Сложение скоростей при переходе в движущуюся систему

Приёмы решения: Относительное движение · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок