Физтех 2025/26, Физика 11, финал №2 · вар. 11-01 — Три цикла на двух прямых: решение

Условие

На диаграмме зависимости давления $P$ от объема $V$ для одноатомного идеального газа линии 2-3-5 и 1-4-6 – прямые, пересекающие ось объема в точке $8V_0$ где $V_0$ – некоторый неизвестный объем. Процессы 1-2, 4-3 и 5-6 — изохорические процессы, проводимые при объемах $3V_0$ $5V_0$ и $7V_0$ Работа газа в цикле 1-2-5-6-1 равна $A$ КПД цикла 4-3-5-6-4 равен $\eta_2$

1. Найти работы газа $A_1$ и $A_2$ в циклах 1-2-3-4-1 и 4-3-5-6-4. 2. Найти количества теплоты $Q_{12}$ и $Q_{43}$ подводимые к газу в процессах 1-2 и 4-3. 3. Найти КПД $\eta_1$ цикла 1-2-3-4-1.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Наклоны прямых неизвестны, но обе проходят через $8V_0$ Запиши давление на прямой как $P = k(8V_0 - V)$ — что тогда можно сказать о площадях циклов? Для КПД нужно знать, на каких участках наклонных прямых газ получает теплоту. В модели проведи газ по циклу и посмотри, где меняется цвет. Ниже можно сверить ответ пункта 1 — работу $A_1$ в долях $A$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри цикла на двух прямых

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три цикла на двух прямых

На каких участках газ получает теплоту и как связаны КПД двух маленьких циклов?

Если модель не открылась, попробуй так. Отметь на диаграмме точку, где на наклонной прямой меняется знак теплоты.

Подсказка 1

На прямой через $8V_0$ давление $P = k(8V_0 - V)$ поэтому в точках 1, 2, … давления выражаются через два наклона $k_1$ и $k_2$ Работы циклов — площади трапеций, и все они пропорциональны $(k_2 - k_1)V_0^2$ Отношения работ от наклонов не зависят.

Подсказка 2

На изохоре $Q = \tfrac32V\,\Delta P$ На наклонной прямой посчитай теплоту маленького участка: $\Delta Q = \tfrac52P\,\Delta V + \tfrac32V\,\Delta P$ . Она меняет знак как раз при $V = 5V_0$ — в точках 3 и 4. Сравни подведённую теплоту двух маленьких циклов: разность выражается через $A$

Разобрать решение по шагам

Давления в вершинах

Обе прямые проходят через точку $(8V_0;\,0)$ поэтому на нижней прямой $P = k_1(8V_0 - V)$ на верхней $P = k_2(8V_0 - V)$ $k_2 > k_1$ Получаем

P_1 = 5k_1V_0,\quad P_4 = 3k_1V_0,\quad P_6 = k_1V_0;\qquad P_2 = 5k_2V_0,\quad P_3 = 3k_2V_0,\quad P_5 = k_2V_0.

Работы циклов

Работа цикла равна площади фигуры на диаграмме $P$ – $V$ Все три фигуры — трапеции с вертикальными основаниями:

A_1 = \frac{(5 + 3)(k_2 - k_1)V_0}{2}\cdot 2V_0 = 8(k_2 - k_1)V_0^2,\qquad A_2 = \frac{(3 + 1)(k_2 - k_1)V_0}{2}\cdot 2V_0 = 4(k_2 - k_1)V_0^2,

а для большого цикла $A = A_1 + A_2 = 12(k_2 - k_1)V_0^2$ . Поэтому

A_1 = \frac23A,\qquad A_2 = \frac13A.

Работы — площади трапеций между прямыми. В единицах (k₂ − k₁)V₀² они равны 8 и 4, поэтому A₁ = 2A/3, A₂ = A/3.

Теплота на изохорах

На изохоре газ не совершает работы, $Q = \Delta U = \tfrac32V\,\Delta P$ :

Q_{12} = \frac32\cdot 3V_0\cdot 5(k_2 - k_1)V_0 = \frac{45}{2}(k_2 - k_1)V_0^2 = \frac{15}{8}A,

Q_{43} = \frac32\cdot 5V_0\cdot 3(k_2 - k_1)V_0 = \frac{15}{8}A.

Теплоты получились одинаковыми.

Где газ получает теплоту на прямой

Возьмём маленький участок прямой $P = k(8V_0 - V)$ По первому закону термодинамики

\Delta Q = \Delta U + P\,\Delta V = \frac32(P\,\Delta V + V\,\Delta P) + P\,\Delta V = \frac52P\,\Delta V + \frac32V\,\Delta P.

Подставим $\Delta P = -k\,\Delta V$ $\ \Delta Q = k\,(20V_0 - 4V)\,\Delta V$ .

Множитель $20V_0 - 4V$ меняет знак при $V = 5V_0$ — как раз в точках 3 и 4. При расширении левее $5V_0$ (участок 2-3) газ получает теплоту, правее (3-5) — отдаёт. При сжатии правее $5V_0$ (участок 6-4) газ теплоту получает, левее (4-1) — отдаёт. Сумма таких кусочков:

Q_{23} = k_2\left[20V_0V - 2V^2\right]_{3V_0}^{5V_0} = 8k_2V_0^2,\qquad Q_{64} = k_1\left[20V_0V - 2V^2\right]_{7V_0}^{5V_0} = 8k_1V_0^2.

На обеих прямых знак теплоты меняется при 5V₀, то есть в точках 3 и 4. Каждый маленький цикл получает теплоту на изохоре и на одном участке прямой.

КПД цикла 1-2-3-4-1

Цикл 1-2-3-4-1 получает теплоту на 1-2 и 2-3, цикл 4-3-5-6-4 — на 4-3 и 6-4:

\eta_1 = \frac{A_1}{Q_{12} + Q_{23}},\qquad \eta_2 = \frac{A_2}{Q_{43} + Q_{64}}.

Так как $Q_{12} = Q_{43}$ а $Q_{23} - Q_{64} = 8(k_2 - k_1)V_0^2 = \tfrac23A$ , подведённая теплота первого цикла больше на $\tfrac23A$ Подведённая теплота второго цикла равна $\dfrac{A_2}{\eta_2} = \dfrac{A}{3\eta_2}$ . Поэтому

\eta_1 = \frac{\tfrac23A}{\tfrac{A}{3\eta_2} + \tfrac23A} = \frac{2\eta_2}{1 + 2\eta_2}.

Проверка

Проверим на числах. Пусть $V_0 = 1$ $k_2 = 1$ $k_1 = 0{,}5$ Тогда $A = 6$ $Q_{43} = 11{,}25$ $Q_{64} = 4$ $\eta_2 = 2/15{,}25 \approx 0{,}1311$ ; $Q_{12} = 11{,}25$ $Q_{23} = 8$ $\eta_1 = 4/19{,}25 \approx 0{,}2078$ . Формула даёт $2\cdot 0{,}1311/(1 + 0{,}2623) \approx 0{,}2078$ — совпадает. В проверочном файле теплота на прямых посчитана суммированием по маленьким участкам при разных наклонах.

Ответ

1) $A_1 = \dfrac23A$ $A_2 = \dfrac13A$ 2) $Q_{12} = Q_{43} = \dfrac{15}{8}A$ ; 3) $\eta_1 = \dfrac{2\eta_2}{1 + 2\eta_2}$ .

Ответ

1) $A_1 = \dfrac23A$ $A_2 = \dfrac13A$ 2) $Q_{12} = Q_{43} = \dfrac{15}{8}A$ ; 3) $\eta_1 = \dfrac{2\eta_2}{1 + 2\eta_2}$ .

Главная идея

Работа цикла — площадь на диаграмме. На прямой P = k(8V0 − V) теплота меняет знак при V = 5V0, поэтому каждый маленький цикл получает теплоту на изохоре и на одном участке прямой.

Циклы из отрезков прямых и изохор на диаграмме P–V; нужно найти КПД, а наклоны прямых неизвестны.

Где легко ошибиться

Считать, что на всём участке расширения газ получает теплоту; включать в подведённую теплоту участки 3-5 или 4-1; пытаться найти наклоны k₁ и k₂ — они не нужны.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 2.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Начальный вход

Первый закон термодинамики
Внутренняя энергия одноатомного газа
Работа газа как площадь под графиком

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →