Физтех 2025/26, Физика 11, финал №3 · вар. 11-01 — Колебания с диодами: решение

Условие

В цепи, схема которой изображена на рис. 1, ЭДС идеального источника $\mathcal E = 10{,}5U_0$ Все диоды одинаковые. ВАХ диода (зависимость тока $I$ через диод от напряжения $U$ на нем) показана на рис. 2, напряжение открытия диода $U_D = U_0$ Индуктивность идеальной катушки $L$ Емкость конденсатора $C$

1. В каких пределах должен находиться заряд на левой обкладке конденсатора, чтобы после замыкания ключа К ток в цепи не протекал?

Для следующих пунктов задачи конденсатор до замыкания ключа не заряжен, затем ключ замыкают.

2. Найти скорость возрастания тока в катушке сразу после замыкания ключа. 3. Через некоторое время $\tau$ после замыкания ключа заряд на конденсаторе устанавливается и в дальнейшем не изменяется. Найти время $\tau$ и установившийся заряд $q_0$ на левой обкладке конденсатора. 4. Найти выделившуюся теплоту $Q_2$ в диоде $D_2$ после замыкания ключа.

Ответы выразить через $U_0$ $L$ $C$

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Открытый диод держит на себе напряжение $U_0$ при любом токе. Сколько диодов окажется на пути тока, если он пойдёт против часовой стрелки, и сколько — если по часовой? Что делает ток в цепи с катушкой и конденсатором, пока диоды открыты? В модели задай заряд и замкни ключ. Ниже можно сверить ответ пункта 2 — скорость роста тока в единицах $U_0/L$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКонтур с диодами

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Контур с диодами

Как меняется заряд конденсатора после замыкания ключа и почему ток в конце концов прекращается?

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй цепь и отметь, через какие диоды идёт ток в каждую сторону. Как меняется заряд конденсатора, пока ток идёт?

Подсказка 1

Против часовой стрелки ток идёт через один диод $D_3$ по часовой — через два диода $D_1$ и $D_2$ Запиши закон Кирхгофа для контура: $\mathcal E - L\dfrac{dI}{dt} - \dfrac qC - U_\text{диодов} = 0$ . Ток начинается, только если сразу после замыкания $L\,dI/dt$ получается нужного знака.

Подсказка 2

Пока ток идёт в одну сторону, это обычные колебания $LC$ только вокруг смещённого положения равновесия: $9{,}5CU_0$ для тока через $D_3$ и $12{,}5CU_0$ для тока через $D_1$ $D_2$ Через полпериода ток обращается в ноль, а заряд становится симметричным начальному относительно этого положения. Следи, когда заряд попадёт в полосу из пункта 1. Теплота в открытом диоде — $U_0$ умноженное на прошедший через него заряд.

Разобрать решение по шагам

Когда ток не начинается

Пусть $q$ — заряд левой обкладки. Плюс источника — внизу, поэтому источник гонит ток против часовой стрелки: по нижнему проводу вправо, к левой обкладке. Такой ток проходит через один диод $D_3$ и на нём напряжение $U_0$ По закону Кирхгофа

\mathcal E - L\frac{dI}{dt} - \frac qC - U_0 = 0.

Ток против часовой стрелки начнётся, если $\mathcal E - q/C > U_0$ то есть $q < 9{,}5CU_0$

Ток по часовой стрелке проходит через два диода $D_1$ и $D_2$ — нужно $2U_0$ Его гонит конденсатор против источника, и он начнётся, если $q/C - \mathcal E > 2U_0$ то есть $q > 12{,}5CU_0$ Значит, ток не потечёт при

9{,}5\,CU_0 \le q \le 12{,}5\,CU_0.

Ниже 9,5CU₀ ток может пойти через D₃, выше 12,5CU₀ — через D₁ и D₂. В полосе между ними ток не начинается.

Сразу после замыкания

Конденсатор не заряжен, $q = 0 < 9{,}5CU_0$ ток пойдёт против часовой стрелки через $D_3$ В первый момент тока ещё нет, но на катушке уже есть напряжение:

L\frac{dI}{dt} = \mathcal E - U_0 = 9{,}5\,U_0\ \Rightarrow\ \frac{dI}{dt} = \frac{9{,}5\,U_0}{L}.

Колебания вокруг смещённого положения

Пока ток идёт через $D_3$ уравнение $L\dfrac{dI}{dt} = -\dfrac{q - 9{,}5CU_0}{C}$ — это колебания контура $LC$ около заряда $9{,}5CU_0$ с периодом $2\pi\sqrt{LC}$ Ток в одну сторону течёт полпериода, $\pi\sqrt{LC}$ Потом он обращается в ноль, а заряд становится симметричным начальному относительно $9{,}5CU_0$ Обратно через $D_3$ ток не пойдёт. Если заряд вне полосы из пункта 1, начинается ток в другую сторону — колебание около $12{,}5CU_0$

Заряд меняется так (в единицах $CU_0$ ):

0 \xrightarrow{D_3} 19 \xrightarrow{D_1D_2} 6 \xrightarrow{D_3} 13 \xrightarrow{D_1D_2} 12.

Заряд $12CU_0$ лежит в полосе $[9{,}5;\ 12{,}5]$ и ток больше не начинается. Прошло четыре полупериода:

\tau = 4\pi\sqrt{LC},\qquad q_0 = 12\,CU_0.

Каждая половина колебания идёт вокруг своего положения равновесия: 9,5CU₀ (через D₃) или 12,5CU₀ (через D₁ и D₂). После четырёх полупериодов заряд попадает в полосу и остаётся там.

Теплота в диоде D₂

Напряжение на открытом диоде всё время равно $U_0$ поэтому выделившаяся в нём теплота равна $U_0$ умноженному на прошедший через него заряд. Через $D_2$ ток идёт по часовой стрелке — во втором и четвёртом полупериодах. Заряд конденсатора за них изменился на $19 - 6 = 13$ и $13 - 12 = 1$ (в единицах $CU_0$ ):

Q_2 = U_0\cdot(13 + 1)\,CU_0 = 14\,CU_0^2.

Проверка

Проверим энергией (в единицах $CU_0^2$ ). Через источник в итоге прошёл заряд $12CU_0$ в направлении его ЭДС, источник совершил работу $10{,}5\cdot 12 = 126$ Энергия конденсатора в конце $\dfrac{(12CU_0)^2}{2C} = 72$ , ток в катушке равен нулю. Через $D_3$ прошёл заряд $19 + 7 = 26$ через $D_1$ и $D_2$ — по $14$ Теплота в диодах $26 + 14 + 14 = 54$ и $72 + 54 = 126$ — баланс сходится. В проверочном файле цепь проинтегрирована по шагам с моделью диода по рис. 2.

Ответ

1) $9{,}5\,CU_0 \le q \le 12{,}5\,CU_0$ ; 2) $\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{9{,}5\,U_0}{L}$ ; 3) $\tau = 4\pi\sqrt{LC}$ $q_0 = 12\,CU_0$ 4) $Q_2 = 14\,CU_0^2$

Ответ

1) $9{,}5\,CU_0 \le q \le 12{,}5\,CU_0$ ; 2) $\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{9{,}5\,U_0}{L}$ ; 3) $\tau = 4\pi\sqrt{LC}$ $q_0 = 12\,CU_0$ 4) $Q_2 = 14\,CU_0^2$

Главная идея

Открытые диоды добавляют к ЭДС постоянное напряжение, поэтому каждая половина колебания идёт вокруг своего смещённого положения равновесия. Колебания прекращаются, когда заряд попадает в «зону застоя».

Колебательный контур с диодами разного числа в разных направлениях; спрашивают, когда ток прекратится и сколько выделится теплоты.

Где легко ошибиться

Считать, что колебания идут вокруг ℰC; забыть, что в одну сторону ток идёт через два диода, а в другую — через один; искать теплоту в диоде через ток и время вместо прошедшего заряда.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 3.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Продвинутая подготовка

Закон Кирхгофа для контура с катушкой
Колебательный контур LC
Работа источника и энергия конденсатора

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →