Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №5 — решение · финал

Условие

На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ расположены центр $O$ прозрачного шара и точечный источник $S$ удалённый от линзы на расстояние $a = 1{,}5F$ (см. рис.). На поверхность шара, противоположную поверхности входа лучей, нанесено идеально отражающее зеркальное покрытие. С шаром жёстко скреплён непрозрачный экран Э с небольшим круглым отверстием. Если шар расположен так, что расстояние от центра линзы до ближайшей к нему точки шара равно $b = 8F/3$ то изображение источника в системе «линза-шар» совпадает с самим источником при любом показателе преломления вещества шара.

1) Найти радиус $R$ шара.

После того, как центр шара переместили вдоль оптической оси так, что расстояние от шара до центра линзы увеличилось на $\Delta = 2F$ изображение источника снова совпало с самим источником.

2) Найти показатель преломления вещества шара.

Отражение света от наружной поверхности шара пренебрежимо мало. Экран Э обеспечивает малость углов $\alpha$ лучей (падающих на шар) с оптической осью и справедливость приближения $\sin\alpha \approx \alpha$ .

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Куда линза собирает лучи от $S$ Как должны идти лучи, чтобы шар не преломлял их ни при каком $n$ Запиши оба ответа; ниже проверяется $R$ в единицах $F$ (с точностью до сотых).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЛинза и зеркальный шар

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Линза и зеркальный шар

Куда должны сойтись лучи внутри шара, чтобы вернуться в источник — и при каком n это получится?

Если модель не открылась, попробуй так. Найди изображение в линзе; подумай, при каком положении шара лучи входят по радиусам.

Подсказка 1

Линза даёт изображение $S_1$ на расстоянии $b_1 = \dfrac{aF}{a - F} = 3F$ . Лучи не преломляются на сфере при любом $n$ только если падают по нормали — то есть идут вдоль радиусов, в центр шара. Значит, $S_1$ совпадает с $O$ $R = b_1 - b$ Отражённые от зеркала лучи возвращаются по тем же радиусам, и изображение попадает в $S$

Подсказка 2

После сдвига $S_1$ остаётся на месте и служит источником для передней поверхности шара на расстоянии $a_1 = b + \Delta - b_1$ Чтобы лучи вернулись назад, после преломления они должны сойтись на зеркале в его вершине (расстояние $2R$ от передней поверхности): формула преломления на сферической поверхности $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{n}{b_1^\prime} = \dfrac{n - 1}{R}$ при $b_1^\prime = 2R$

Разобрать решение по шагам

Изображение в линзе

По формуле линзы $\dfrac1a + \dfrac1{b_1} = \dfrac1F$ при $a = 1{,}5F$

b_1 = \frac{aF}{a - F} = \frac{1{,}5F\cdot F}{0{,}5F} = 3F.

«При любом показателе преломления» — лучи идут в центр

Шар не отклоняет луч ни при каком $n$ лишь тогда, когда луч падает на поверхность по нормали, то есть идёт вдоль радиуса. Значит, точка $S_1$ куда линза собирает лучи, — это центр шара $O$ Такие лучи проходят шар без преломления, отражаются от зеркала строго назад, снова собираются в $S_1$ и линза возвращает их в $S$ Поэтому

R = b_1 - b = 3F - \frac{8F}{3} = \frac{F}{3}.

После сдвига: лучи должны сойтись на зеркале

Шар отодвинули на $\Delta = 2F$ передняя поверхность теперь на расстоянии $b + \Delta = \dfrac{14F}{3}$ от линзы, а $S_1$ по-прежнему на $3F$ Для передней сферической поверхности $S_1$ — источник на расстоянии $a_1 = \dfrac{14F}{3} - 3F = \dfrac{5F}{3}$ . Чтобы изображение снова попало в $S$ отражённый пучок должен быть симметричен падающему относительно оптической оси: верхний луч возвращается по пути нижнего, а нижний — по пути верхнего. Это происходит, когда преломлённые лучи сходятся в вершине зеркала: её касательная перпендикулярна оси, и отражение меняет знак продольной составляющей направления. Каждый наклонный луч при этом не повторяет свой собственный след. По обратимости преломления симметричный пучок снова проходит через $S_1$ а после линзы собирается в $S$ Другой самосопряжённый случай — лучи через центр кривизны зеркала, но после сдвига он невозможен: подстановка $b_1^\prime = R$ в формулу ниже даёт $a_1 = -R$ то есть исходное положение без сдвига. Формула преломления на сферической поверхности радиуса $R$

\frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1^\prime} = \frac{n - 1}{R}, \qquad b_1^\prime = 2R = \frac{2F}{3}:

\frac{3}{5F} + \frac{3n}{2F} = \frac{3(n-1)}{F} \ \Rightarrow\ \frac35 + \frac{3n}{2} = 3n - 3 \ \Rightarrow\ \frac{3n}{2} = \frac{18}{5}, \qquad n = \frac{12}{5} = 2{,}4.

Проверка

Правила модели считают параксиальную систему: изображение линзы, условие «при любом $n$ » ( $S_1$ = центр шара), затем преломление на передней поверхности для заданного $n$ отражение от сферического зеркала и обратный проход через поверхность и линзу; проверено, что при $n = 2{,}4$ лучи сходятся ровно на вершине зеркала ( $2R$ от передней поверхности), при других $n$ — нет; в обратном ходе высоты лучей меняют знак, а конечная высота в плоскости источника равна нулю. В исходном положении, напротив, каждый луч повторяет собственный след. После сдвига в центр шара лучи не сходятся ни при каком $n$ Для 11-02 (длины в $R$ $a = 2R$ $b = 7R$ сдвиг $-4R$ ): $F = 8R/5$ $a_1 = -5R$ (мнимый источник), $n = 1{,}6$

Ответ

1) $R = \dfrac{aF}{a - F} - b = \dfrac{F}{3}$ ; 2) $n = \dfrac{1/R + 1/a_1}{1/R - 1/(2R)} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ .

Ответ

1) $R = \dfrac{aF}{a - F} - b = \dfrac{F}{3}$ ; 2) $n = \dfrac{1/R + 1/a_1}{1/R - 1/(2R)} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4$ .

Главная идея

«При любом n» означает лучи по радиусам — изображение линзы в центре шара; после сдвига преломлённые лучи должны сойтись на вершине зеркала, что даёт n из формулы сферической поверхности.

Изображение совпадает с источником: радиальные лучи повторяют собственные пути, а при схождении в вершине зеркала пучок возвращается симметрично оси, обменивая верхний и нижний пути.

Где легко ошибиться

Применять формулу тонкой линзы к шару; забыть, что a₁ отсчитывается от передней поверхности, а не от центра; требовать схождения в центре после сдвига.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 5. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 11-02 (известен R, ищут F; шар придвигают на 4R)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Отражение и изображение →

Тема, знания и приёмы

Отражение и изображение · Продвинутая подготовка

Формула тонкой линзы
Преломление на сферической поверхности (параксиальное)
Обратимость хода лучей

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →