Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №4 — решение · финал

Условие

Катушка индуктивностью $L_1 = L$ с числом витков $n$ и площадью каждого витка $S_1$ находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией $B_0$ Силовые линии поля перпендикулярны плоскости каждого витка. Вторая катушка индуктивностью $L_2 = 4L$ находится вне поля (см. рис.). Сопротивление катушек и соединительных проводов пренебрежимо мало. Изначально тока в катушках нет. Внешнее поле выключают в течение времени $\tau$ Зависимость индукции внешнего поля от времени показана на рисунке. Взаимной индуктивностью катушек пренебречь.

1) Найти ток $I_0$ через катушку $L_1$ в конце выключения внешнего поля. 2) Найти заряд, протекший через катушку $L_1$ за время выключения внешнего поля.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Сопротивления нет — что сохраняется в замкнутом сверхпроводящем контуре? Запиши оба ответа; ниже проверяется $I_0$ в единицах $nS_1B_0/L$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКонтур из двух катушек

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Контур из двух катушек

Почему ток в контуре повторяет график B₀ − B(t) — и как из него получить заряд?

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши правило Кирхгофа для контура без сопротивления и проинтегрируй его по времени.

Подсказка 1

Катушки образуют один замкнутый контур, ток в них общий. Сумма ЭДС равна нулю (сопротивления нет):

-nS_1\dfrac{\Delta B}{\Delta t} - L_1\dfrac{\Delta I}{\Delta t} - L_2\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = 0

. Проинтегрируй: полный поток $nS_1B + (L_1 + L_2)I$ сохраняется.

Подсказка 2

Из сохранения потока $I(t) = \dfrac{nS_1\,(B_0 - B(t))}{L_1 + L_2}$ — ток повторяет график $B_0 - B(t)$ Заряд — площадь под $I(t)$ $q = \dfrac{nS_1}{L_1 + L_2}\left(B_0\tau - \int_0^\tau B\,dt\right)$ ; интеграл от $B$ — площадь под ломаной: трапеция до $\tau/3$ плюс треугольник.

Разобрать решение по шагам

Сохранение потока в контуре без сопротивления

Катушки соединены в один замкнутый контур, ток $I$ в них одинаков. ЭДС индукции внешнего поля в первой катушке $-nS_1\dot B$ ЭДС самоиндукции $-L_1\dot I$ и $-L_2\dot I$ при нулевом сопротивлении их сумма равна нулю:

nS_1\dot B + (L_1 + L_2)\dot I = 0 \ \Rightarrow\ nS_1 B(t) + (L_1 + L_2)\,I(t) = \text{const} = nS_1B_0.

Отсюда в любой момент $I(t) = \dfrac{nS_1\,(B_0 - B(t))}{L_1 + L_2}$ .

Ток в конце

При $t = \tau$ поле выключено, $B = 0$

I_0 = \frac{nS_1B_0}{L_1 + L_2} = \frac{nS_1B_0}{5L}.

Заряд — площадь под током

$q = \displaystyle\int_0^\tau I\,dt = \frac{nS_1}{5L}\left(B_0\tau - \int_0^\tau B\,dt\right)$ . Площадь под графиком $B(t)$ трапеция от $B_0$ до $B_0/3$ на отрезке $\tau/3$ и треугольник от $B_0/3$ до нуля на $2\tau/3$

\int_0^\tau B\,dt = \frac{B_0 + B_0/3}{2}\cdot\frac{\tau}{3} + \frac12\cdot\frac{B_0}{3}\cdot\frac{2\tau}{3} = \frac{2B_0\tau}{9} + \frac{B_0\tau}{9} = \frac{B_0\tau}{3},

q = \frac{nS_1}{5L}\cdot\frac{2B_0\tau}{3} = \frac{2nS_1B_0\tau}{15L}.

Официальное решение складывает заряды по двум участкам графика: $q_1 = \dfrac{nS_1B_0\tau}{45L}$ , $q_2 = \dfrac{nS_1B_0\tau}{9L}$ — та же сумма.

Проверка

Правила модели задают $B(t)$ ломаной из условия и ток из сохранения потока; проверено, что $nS_1B + (L_1 + L_2)I$ постоянен во всех точках, а заряд, найденный численным интегрированием тока (20 000 шагов), совпадает с формулой на всём отрезке и в конце: $I_0 = nS_1B_0/(5L)$ $q = 2nS_1B_0\tau/(15L)$ для 11-02 ( $L_2 = 6L$ излом $(2\tau/3;\ 3B_0/4)$ ): $I_0 = nS_1B_0/(7L)$ $q = nS_1B_0\tau/(24L)$

Ответ

1) $I_0 = \dfrac{nS_1B_0}{L_1 + L_2} = \dfrac{nS_1B_0}{5L}$ ; 2)

q = \dfrac{nS_1}{L_1 + L_2}\left(B_0\tau - \displaystyle\int_0^\tau B\,dt\right) = \dfrac{2nS_1B_0\tau}{15L}

Ответ

1) $I_0 = \dfrac{nS_1B_0}{L_1 + L_2} = \dfrac{nS_1B_0}{5L}$ ; 2)

q = \dfrac{nS_1}{L_1 + L_2}\left(B_0\tau - \displaystyle\int_0^\tau B\,dt\right) = \dfrac{2nS_1B_0\tau}{15L}

Главная идея

В сверхпроводящем контуре сохраняется полный поток nS₁B + (L₁+L₂)I, поэтому ток повторяет B₀ − B(t); заряд — площадь под током, то есть B₀τ минус площадь под графиком B.

Катушки без сопротивления + меняющееся поле — сохранение потока; «заряд за время» — интеграл тока, площадь под ломаной.

Где легко ошибиться

Делить ток между катушками как в параллельном соединении (контур один — ток общий); считать заряд по среднему току без площади ломаной; забыть L₁ в сумме индуктивностей.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 4. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 11-02 (L₂ = 6L, другой график, вопросы про L₂)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →

Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Продвинутая подготовка

ЭДС индукции и самоиндукции
Сохранение магнитного потока в контуре без сопротивления
Заряд как интеграл тока

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →