Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №2 — решение · финал

Условие

В вертикальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем находится влажный воздух при давлении $p_0 = 150$ кПа, температуре $t_0 = 86\ {}^\circ$ С и относительной влажности $\varphi_0 = 2/3$ (66,7%). Содержимое цилиндра постепенно остывает до температуры $t = 46\ {}^\circ$ С. Известен график зависимости давления насыщенного пара воды от температуры.

1) Найти парциальное давление пара $P_1$ при $86\ {}^\circ$ С. 2) Найти температуру $t^*$ при которой начнётся конденсация пара. 3) Найти отношение объёмов содержимого цилиндра $V/V_0$ в конце и в начале остывания.

Объёмом жидкости по сравнению с объёмом газа можно пренебречь. Пар считать идеальным газом.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Массивный поршень держит давление постоянным. Что при остывании происходит с парциальным давлением пара, пока он не насыщен? Запиши три ответа; ниже проверяется отношение $V/V_0$ с точностью до десятых (значения с графика читаются с допуском).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПар под поршнем

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Пар под поршнем

Почему парциальное давление пара не меняется при остывании — до какого момента?

Если модель не открылась, попробуй так. Найди по графику P_нас при 86 °C, возьми 2/3; затем найди температуру, где кривая проходит через это давление.

Подсказка 1

По графику $P_{нас}(86\ {}^\circ\text{C}) \approx 60$ кПа, поэтому $P_1 = \varphi_0 P_{нас} = 40$ кПа. При изобарном остывании без конденсации состав смеси не меняется, значит, не меняются и парциальные давления: пар остаётся при $40$ кПа, пока не станет насыщенным. Найди по графику, при какой температуре $P_{нас} = 40$ кПа.

Подсказка 2

Ниже $t^*$ пар насыщен: его давление $P_{нас}(t)$ а сухой воздух держит остальное: $p_0 - P_{нас}(t)$ Объём удобно считать по сухому воздуху (его количество не меняется): $\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{T}{T_0}\cdot\dfrac{p_0 - P_1}{p_0 - P_{нас}(t)}$ . При $46\ {}^\circ$ С $P_{нас} \approx 10$ кПа.

Разобрать решение по шагам

Парциальное давление пара в начале

По графику давление насыщенного пара при $86\ {}^\circ$ С равно $P_{нас} \approx 60$ кПа. Относительная влажность — доля от насыщенного:

P_1 = \varphi_0 P_{нас}(86\ {}^\circ\text{C}) = \frac23\cdot 60 = 40 \text{ кПа}.

Сухой воздух даёт остальные $p_0 - P_1 = 110$ кПа.

Начало конденсации

Поршень массивный — полное давление $p_0$ постоянно. Пока пар не насыщен, число молекул пара и воздуха не меняется, значит, не меняется и отношение их парциальных давлений: пар остаётся при $P_1 = 40$ кПа, а объём уменьшается пропорционально $T$ Конденсация начнётся, когда это давление станет насыщенным: по графику $P_{нас}(t^*) = 40$ кПа при

t^* \approx 76\ {}^\circ\text{C}.

Отношение объёмов

Ниже $t^*$ пар насыщен, его давление следует графику, при $46\ {}^\circ$ С $P_3 = P_{нас}(46\ {}^\circ\text{C}) \approx 10$ кПа. Сухой воздух (его количество постоянно) занимает тот же объём при давлении $p_0 - P_3 = 140$ кПа:

\frac{(p_0 - P_1)V_0}{T_0} = \frac{(p_0 - P_3)V}{T} \ \Rightarrow\ \frac{V}{V_0} = \frac{p_0 - P_1}{p_0 - P_3}\cdot\frac{T}{T_0} = \frac{110}{140}\cdot\frac{319}{359} \approx 0{,}70.

Сконденсировалось около $80\%$ исходного пара.

Проверка

Правила модели используют кривую насыщения, восстановленную по табличным значениям для воды (совпадает с графиком условия в пределах $1{,}5$ кПа), и считают изобарное остывание: до $t^*$ парциальное давление пара постоянно и $V \propto T$ ниже — пар насыщен, объём по сухому воздуху; состояние непрерывно в $t^*$ Получено $P_1 \approx 40{,}1$ кПа, $t^* \approx 75{,}9\ {}^\circ$ С, $V/V_0 \approx 0{,}698$ — в допустимых официальных интервалах (39–41; 75–77; 0,68–0,72).

Ответ

1) $P_1 = \varphi_0 P_{нас}(86\ {}^\circ\text{C}) \approx 40$ кПа; 2) $t^* \approx 76\ {}^\circ$ С; 3) $\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{(p_0 - P_1)\,T}{(p_0 - P_{нас}(t))\,T_0} \approx 0{,}7$ .

Ответ

1) $P_1 = \varphi_0 P_{нас}(86\ {}^\circ\text{C}) \approx 40$ кПа; 2) $t^* \approx 76\ {}^\circ$ С; 3) $\dfrac{V}{V_0} = \dfrac{(p_0 - P_1)\,T}{(p_0 - P_{нас}(t))\,T_0} \approx 0{,}7$ .

Главная идея

При изобарном остывании без конденсации парциальные давления не меняются (состав постоянен); конденсация начинается, когда P_нас(t) опускается до P₁; объём ниже t* считается по сухому воздуху.

Влажный воздух под массивным поршнем — изобара смеси; парциальное давление пара постоянно до точки росы, дальше оно сидит на кривой насыщения.

Где легко ошибиться

Считать, что при остывании парциальное давление пара падает ∝ T (это для постоянного объёма); считать объём по пару, а не по сухому воздуху.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 2.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Продвинутая подготовка

Относительная влажность и давление насыщенного пара
Закон Дальтона
Уравнение состояния идеального газа

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →