Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №3 — решение · финал

Условие

В плоском тонком диске в форме круга имеется круглое отверстие (см. рис.). Центры диска и отверстия совпадают в точке $O$ Диск имеет однородно распределённый по поверхности положительный заряд. Система из двух жёстко связанных равных по модулю и противоположных по знаку точечных зарядов (диполь) движется с некоторой начальной скоростью из бесконечно удалённой точки вдоль оси симметрии диска и пролетает через отверстие. Заряды диполя находятся на маленьких шариках, на диполь действуют только силы электрического поля диска, диск закреплён, при пролёте диполь не отклоняется от оси диска. Минимальная начальная скорость диполя, необходимая для пролёта, равна $V_0$ Диполю сообщают начальную скорость $2V_0$

1) Найти скорость диполя при пролёте центра диполя через центр отверстия. 2) Найти разность максимальной и минимальной скоростей диполя при пролёте.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Чему равна энергия взаимодействия диполя с диском, когда центр диполя в центре отверстия? Запиши оба ответа через $V_0$ ниже проверяется скорость в центре в единицах $V_0$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДиполь и кольцо

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Диполь и кольцо

Почему энергия диполя в центре отверстия равна нулю — и где он летит медленнее всего?

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши W(x) через потенциал диска в точках зарядов и проверь, что W(−x) = −W(x).

Подсказка 1

Энергия диполя в поле диска $W(x) = q\,[\varphi(x+b) - \varphi(x-b)]$ . Потенциал диска чётен по $x$ поэтому $W(-x) = -W(x)$ в центре $W = 0$ перед диском $W > 0$ (плюс ближе к положительному диску), за диском $W < 0$ Что даёт закон сохранения энергии между бесконечностью и центром?

Подсказка 2

Пусть $W_m$ — наибольшее значение $W(x)$ (горб перед диском при $x = -x_0$ ). Минимальная скорость пролёта определяется им: $\dfrac{mV_0^2}{2} = W_m$ Скорость минимальна на горбе ( $x = -x_0$ ) и максимальна в яме ( $x = +x_0$ где $W = -W_m$ ). Подставь начальную энергию $\dfrac{m(2V_0)^2}{2}$

Разобрать решение по шагам

Энергия диполя и её симметрия

Пусть $x$ — координата центра диполя вдоль оси, $2b$ — расстояние между зарядами, плюс летит впереди. Энергия взаимодействия $W(x) = q\varphi(x+b) - q\varphi(x-b)$ , где $\varphi$ — потенциал диска на оси. Потенциал диска — чётная функция $x$ поэтому $W(-x) = -W(x)$ в центре отверстия $W(0) = 0$ до горба ( $x < -x_0$ ) $W$ возрастает и диполь тормозится; от горба $-x_0$ до ямы $+x_0$ энергия убывает и диполь разгоняется; после ямы снова тормозится. Знак энергии сам по себе не определяет знак ускорения: важен наклон графика.

Скорость в центре

По закону сохранения энергии между бесконечностью ( $W = 0$ ) и центром ( $W = 0$ ):

\frac{m v^2}{2} = \frac{m(2V_0)^2}{2}, \qquad v = 2V_0.

Наибольшая и наименьшая скорости

Граничная скорость $V_0$ определяет высоту горба (при точном равенстве диполь асимптотически приближается к вершине, а для пролёта за конечное время нужна скорость строго больше $V_0$ ): $\dfrac{mV_0^2}{2} = W_m$ При старте с $2V_0$ наименьшая скорость — на горбе ( $x = -x_0$ ), наибольшая — в яме ( $x = +x_0$ $W = -W_m$ ):

\frac{mV_{min}^2}{2} = \frac{m(2V_0)^2}{2} - W_m = \frac{3mV_0^2}{2}, \qquad \frac{mV_{max}^2}{2} = \frac{m(2V_0)^2}{2} + W_m = \frac{5mV_0^2}{2},

V_{max} - V_{min} = (\sqrt5 - \sqrt3)\,V_0 \approx 0{,}50\,V_0.

Проверка

Правила модели берут потенциал на оси кольца (отверстие радиуса $R_1$ внешний радиус $3R_1$ ) и энергию диполя $W(x) = q[\varphi(x+b) - \varphi(x-b)]$ ; проверена нечётность $W$ положение горба перед диском, и то, что наименьшая и наибольшая скорости вдоль всего полёта равны $\sqrt3 V_0$ и $\sqrt5 V_0$ а в центре $2V_0$ при старте медленнее $V_0$ диполь поворачивает до горба, при точном равенстве приближается к вершине без пересечения за конечное время, а при большей скорости пролетает. Для движения из бесконечности время в модели отсчитывается лишь с входа в показанную область, при $x=-7R_1$ Для 11-02 (заряды вдвое меньше, старт $V_0$ ): $V_0$ в центре, $V_{max} - V_{min} = (\sqrt{3/2} - 1/\sqrt2)V_0$ .

Ответ

1) $v = 2V_0$ 2) $V_{max} - V_{min} = (\sqrt5 - \sqrt3)\,V_0 \approx 0{,}5\,V_0$ .

Ответ

1) $v = 2V_0$ 2) $V_{max} - V_{min} = (\sqrt5 - \sqrt3)\,V_0 \approx 0{,}5\,V_0$ .

Главная идея

W(x) диполя нечётна: нуль в центре, горб W_m перед диском, яма −W_m за ним; ½mV₀² = W_m задаёт горб, дальше — сохранение энергии.

«Минимальная скорость для пролёта» — это высота энергетического горба; все остальные скорости — из сохранения энергии с этим W_m.

Где легко ошибиться

Считать энергию в центре отличной от нуля; искать V_min на бесконечности; забывать про яму за диском (V_max > начальной).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 3. В модели можно выбрать другой официальный вариант этого номера (вариант 11-02 (заряды вдвое меньше, старт V₀)): условие, модель и проверка ответа следуют выбранному варианту.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Продвинутая подготовка

Потенциальная энергия заряда и диполя в поле
Закон сохранения энергии
Потенциал диска на оси (чётность)

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →