Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №1 — решение · финал

Условие

Длинная доска массой $M = 2$ кг, на одном конце которой лежит небольшой брусок массой $m = 1$ кг, движется по горизонтальной гладкой поверхности со скоростью $V_0 = 2$ м/с. В некоторый момент доска начинает сжимать лежащую на поверхности лёгкую достаточно длинную пружину с коэффициентом жёсткости $k = 27$ Н/м, которая одним концом упирается в стенку (см. рис.). Коэффициент трения скольжения бруска по доске $\mu = 0{,}3$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Число «пи» в расчётах можете считать равным $\pi \approx 3$ Брусок и доска всё время движутся в одной вертикальной плоскости.

1) Найдите сжатие пружины в тот момент, когда начнётся относительное движение бруска и доски. 2) Найдите промежуток времени с момента начала сжатия пружины до момента начала относительного движения бруска и доски. 3) Найдите ускорение доски в момент максимального сжатия пружины.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 11-01
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Пока брусок не скользит, доска с бруском — одно тело на пружине. Какое трение нужно бруску, чтобы тормозить вместе с доской? Запиши три ответа; ниже проверяется сжатие в метрах (с точностью до сотых).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДоска, брусок и пружина

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Доска, брусок и пружина

При каком сжатии брусок сорвётся — и почему после этого доска качается вокруг другой точки?

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши уравнение совместного движения на пружине; найди, какое трение нужно бруску, и сравни с μmg.

Подсказка 1

Вместе доска и брусок колеблются на пружине с $\omega_0 = \sqrt{k/(M+m)}$ : $x = A\sin\omega_0 t$ $A = V_0/\omega_0$ Бруску для общего ускорения $a = -kx/(M+m)$ нужна сила трения $m|a|$ а она не больше $\mu mg$ Отсюда граница по $x$ и момент $t_2$ из $\sin\omega_0 t_2 = x_2/A$

Подсказка 2

После начала скольжения на доску действуют пружина и трение $\mu mg$ вперёд (брусок обгоняет доску): $M\ddot x = -kx + \mu mg$ — колебания около $x_1 = \mu mg/k$ с $\omega = \sqrt{k/M}$ Амплитуду найди из начального состояния ( $x_2$ $V_2 = V_0\cos\omega_0 t_2$ ): $A^{\prime 2} = (x_2 - x_1)^2 + V_2^2/\omega^2$ . В крайней точке $a = A^\prime\omega^2$ Проверь, что брусок там ещё скользит.

Разобрать решение по шагам

Вместе на пружине

Пока брусок покоится относительно доски, они движутся как одно тело массой $M + m = 3$ кг под действием пружины: $x = A\sin\omega_0 t$ где

\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M+m}} = 3 \text{ с}^{-1}, \qquad A = \frac{V_0}{\omega_0} = \frac{2}{3} \text{ м}.

Общее ускорение $a = -kx/(M+m)$ бруску сообщает только трение покоя, которое не превосходит $\mu mg$ скольжение начнётся при $m\cdot kx_2/(M+m) = \mu mg$ ,

x_2 = \frac{\mu g (M+m)}{k} = \frac{0{,}3\cdot 10\cdot 3}{27} = \frac13 \text{ м}.

Момент начала скольжения

$\sin\omega_0 t_2 = x_2/A = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac12$ , откуда

t_2 = \frac{1}{\omega_0}\arcsin\frac12 = \frac{\pi}{18} \approx \frac16 \text{ с} \quad(\pi \approx 3).

Скорость в этот момент $V_2 = V_0\cos\omega_0 t_2 = 2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \sqrt3$ м/с.

Доска после начала скольжения

Брусок тормозится трением $\mu mg$ и обгоняет доску, поэтому на доску трение действует вперёд. Уравнение доски $M\ddot x = -kx + \mu mg$ — гармонические колебания около смещённого положения равновесия $x_1 = \mu mg/k = 1/9$ м с частотой $\omega = \sqrt{k/M} = \sqrt{13{,}5}$ с $^{-1}$ Амплитуда из состояния в момент $t_2$

A^{\prime 2} = (x_2 - x_1)^2 + \frac{V_2^2}{\omega^2} = \left(\frac29\right)^2 + \frac{3}{13{,}5} = \frac{4}{81} + \frac{18}{81} = \frac{22}{81}, \qquad A^\prime = \frac{\sqrt{22}}{9} \text{ м}.

Наибольшее сжатие $x_3 = x_1 + A^\prime \approx 0{,}63$ м.

Ускорение в крайней точке

В крайней точке колебаний ускорение доски максимально по модулю и направлено от стенки:

a_m = A^\prime\omega^2 = \frac{\sqrt{22}}{9}\cdot\frac{27}{2} = \frac{3\sqrt{22}}{2} \approx 7{,}0 \text{ м/с}^2.

Проверка: до максимального сжатия с момента $t_2$ проходит $\approx 0{,}31$ с, брусок за это время теряет лишь $\mu g\cdot 0{,}31 \approx 0{,}9$ м/с из $\sqrt3 \approx 1{,}73$ м/с — он всё ещё скользит вперёд, и трение на доску по-прежнему $\mu mg$

Проверка

Правила модели используют точное совместное гармоническое движение до срыва; затем на каждом участке контакта и кулоновского трения применяют аналитическое движение с поиском события внутри шага ( $\Delta t \le 0{,}2$ мс): момент начала скольжения, наибольшее сжатие и ускорение доски в нём совпадают с аналитическими $t_2 = \pi/18$ с, $x_3 = (1 + \sqrt{22})/9$ м, $a_m = 3\sqrt{22}/2$ м/с² (расхождение меньше $10^{-3}$ ); до $t_2$ скорости тел равны, после — брусок обгоняет доску, и в момент максимального сжатия он ещё скользит.

Ответ

1) $x_2 = \dfrac{\mu g(M+m)}{k} = \dfrac13$ м; 2)

t_2 = \sqrt{\dfrac{M+m}{k}}\arcsin\dfrac{\mu g(M+m)}{kV_0}\sqrt{\dfrac{k}{M+m}} = \dfrac{\pi}{18} \approx \dfrac16

с; 3) $a_m = \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \approx 7{,}0$ м/с².

Ответ

1) $x_2 = \dfrac{\mu g(M+m)}{k} = \dfrac13$ м; 2)

t_2 = \sqrt{\dfrac{M+m}{k}}\arcsin\dfrac{\mu g(M+m)}{kV_0}\sqrt{\dfrac{k}{M+m}} = \dfrac{\pi}{18} \approx \dfrac16

с; 3) $a_m = \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \approx 7{,}0$ м/с².

Главная идея

Сначала одно тело на пружине (ω₀ = √(k/(M+m))); скольжение — когда нужное трение m·kx/(M+m) достигает μmg; потом доска колеблется около x₁ = μmg/k с ω = √(k/M), амплитуда из x₂ и V₂.

Два тела с трением на пружине — две фазы колебаний с разными частотами и смещённым положением равновесия; граница фаз по условию трения покоя.

Где легко ошибиться

Считать, что брусок начинает скользить сразу; забыть сдвиг положения равновесия на μmg/k; не проверить, что в крайней точке брусок ещё скользит.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · заключительный этап, вариант 11-01, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с решениями организатора. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Механические колебания →

Тема, знания и приёмы

Механические колебания · Продвинутая подготовка

Гармонические колебания на пружине
Трение покоя и скольжения
Второй закон Ньютона для системы тел

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →