МОШ по физике 2026/27 · Физика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Два однородных шарика одинакового объёма $V$ жёстко соединены тонким невесомым стержнем, продолжение которого проходит через центры шариков; объёмом стержня можно пренебречь. Гантель находится в воде; верхний шарик погружён ровно наполовину, нижний — полностью. К центру верхнего шарика приложена сила $\vec F_1$ к центру нижнего — силы $\vec F_2$ и $\vec F_3$ Гантель находится в равновесии. На рисунке, представленном ниже, можно видеть расположение шариков и направления сил. Объём шариков, расстояния $a$ и $h$ между их центрами и модули сил $F_1$ и $F_3$ указаны справа от рисунка.

Постоянные из общей части условия: $g = 10$ м/с $^2$ плотность воды $\rho_0 = 1000$ кг/м $^3$

а) (1 балл) Найдите модуль силы $\vec F_2$ Ответ дайте в ньютонах, округлите до десятых.

б) (2 балла) Найдите плотность верхнего шарика. Ответ дайте в кг/м $^3$ округлите до целых.

в) (1 балл) Найдите плотность нижнего шарика. Ответ дайте в кг/м $^3$ округлите до целых.

г) (1 балл) С какой по модулю силой стержень действует на верхний шарик? Ответ дайте в ньютонах, округлите до десятых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Выпиши все силы на каждый шарик: приложенные, выталкивающие (верхний погружён наполовину!) и силы тяжести. Равновесие — это и сумма сил, и сумма моментов. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–г проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора. Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГантель в воде

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Гантель в воде

При каких F₂ и плотностях шариков гантель будет в равновесии — и с какой силой стержень тянет верхний шарик?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй все силы на каждый шарик и запиши моменты относительно центра верхнего шарика.

Подсказка 1

По горизонтали действуют только $\vec F_1$ и $\vec F_2$ — значит, они равны по модулю. Выталкивающая сила на нижний шарик $\rho_0gV$ на верхний — $\tfrac12\rho_0gV$

Подсказка 2

Возьми моменты для всей гантели относительно центра верхнего шарика: силы, приложенные к верхнему шарику, через эту точку проходят и выпадают, сила стержня — внутренняя. Останутся $F_2$ с плечом $h$ и вертикальные силы на нижний шарик с плечом $a$

Разобрать решение по шагам

а) Горизонтальное равновесие

Зачем: из всех сил только две горизонтальные, и это сразу даёт ответ а).

Выталкивающие силы и силы тяжести вертикальны, $\vec F_3$ тоже. Для всей гантели сумма горизонтальных сил равна нулю:

F_2 = F_1 = 0{,}4\ \text{Н}.

Выталкивающие силы

Зачем: это известные вертикальные силы, без них не составить ни моменты, ни вертикальный баланс.

$V = 100$ см $^3 = 10^{-4}$ м $^3$ полная выталкивающая сила $\rho_0gV = 1000\cdot 10\cdot 10^{-4} = 1$ Н. Нижний шарик погружён целиком — на него $1$ Н вверх, верхний наполовину — $0{,}5$ Н вверх. Давление воды на сферу везде направлено по нормали, то есть к центру шарика, поэтому выталкивающая сила тоже проходит через центр.

в) Моменты относительно центра верхнего шарика — плотность нижнего

Зачем: в этой точке пересекаются $\vec F_1$ вес и выталкивающая сила верхнего шарика, а сила стержня для всей гантели внутренняя — в уравнении останутся только силы на нижний шарик, и неизвестной будет одна масса $m_2$

Нижний центр левее верхнего на $a = 16$ см и ниже на $h = 12$ см. Сила $F_2$ (влево) имеет плечо $h$ и поворачивает гантель по часовой стрелке. Вертикальная сумма сил на нижний шарик $N = F_3 + \rho_0gV - m_2g$ имеет плечо $a$ чтобы уравновесить $F_2$ она должна быть направлена вниз:

\begin{aligned}&F_2\,h = |N|\,a\\[0.45em] &\Rightarrow\ |N| = \frac{0{,}4\cdot 12}{16} = 0{,}3\ \text{Н}.\end{aligned}

Сумма $N$ направлена вниз, поэтому

m_2g = F_3 + \rho_0gV + 0{,}3 = 0{,}5 + 1 + 0{,}3 = 1{,}8\ \text{Н},

\rho_2 = \frac{m_2g}{gV} = \frac{1{,}8}{10\cdot 10^{-4}} = 1800\ \text{кг/м}^3.

Моменты относительно центра верхнего шарика:

F_2h = |N|\,a

где

N

— сумма вертикальных сил на нижний шарик: вес

m_2g = 1{,}8

Н вниз,

F_3 = 0{,}5

Н и выталкивающая сила

\rho_0gV = 1

Н вверх — итого

1{,}8 - 1 - 0{,}5 = 0{,}3

Н вниз (штриховая стрелка). Силы, приложенные к верхнему шарику, относительно его центра моментов не дают; сила стержня на верхний шарик (красная) направлена вдоль стержня.

б) Вертикальное равновесие — плотность верхнего

Зачем: осталась одна неизвестная масса $m_1$ её даёт сумма вертикальных сил на всю гантель.

\begin{aligned}&m_1g + m_2g\\[0.45em] &= F_3 + \rho_0gV + \tfrac12\rho_0gV\\[0.45em] &= 0{,}5 + 1 + 0{,}5 = 2{,}0\ \text{Н},\end{aligned}

m_1g = 2{,}0 - 1{,}8 = 0{,}2\ \text{Н},\qquad \rho_1 = \frac{0{,}2}{10\cdot 10^{-4}} = 200\ \text{кг/м}^3.

г) Сила стержня на верхний шарик

Зачем: сила стержня — единственная неизвестная из сил на верхний шарик; её даёт равновесие этого шарика отдельно.

На верхний шарик: $F_1 = 0{,}4$ Н вправо, $0{,}5$ Н вверх (вода), $0{,}2$ Н вниз (вес) и сила стержня $\vec R$ Сумма равна нулю:

\vec R = -(0{,}4;\ 0{,}5 - 0{,}2) = (-0{,}4;\ -0{,}3)\ \text{Н},

R = \sqrt{0{,}4^2 + 0{,}3^2} = 0{,}5\ \text{Н}.

Сила направлена вниз-влево, к нижнему шарику, вдоль стержня ( $0{,}4 : 0{,}3 = 16 : 12$ ) — стержень растянут.

Проверка

Проверка моментами относительно центра нижнего шарика: $F_1$ приложена на $h = 12$ см выше и даёт $0{,}4\cdot 12 = 4{,}8$ Н·см по часовой стрелке, а вертикальная сумма сил на верхний шарик $0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3$ Н вверх на плече $a = 16$ см даёт $0{,}3\cdot 16 = 4{,}8$ Н·см против часовой — равновесие. Сила стержня на верхний шарик $(-0{,}4;\ -0{,}3)$ параллельна стержню $(-16;\ -12)$ как и должно быть: остальные силы на верхний шарик проходят через его центр. Независимо: правила модели проверяют нулевую сумму сил и моментов относительно трёх разных точек (checks/rules/p9q1-3-dumbbell.test.mjs).

Другие варианты: вариант 2 ( $V = 400$ см $^3$ $a = 16$ см, $h = 12$ см, $F_1 = 1{,}2$ Н, $F_3 = 0{,}5$ Н вниз): $\rho_0gV = 4$ Н; а) $1{,}2$ Н; $|N| = 0{,}9$ Н, $m_2g = -0{,}5 + 4 + 0{,}9 = 4{,}4$ Н — в) $1100$ кг/м $^3$ $m_1g = -0{,}5 + 6 - 4{,}4 = 1{,}1$ Н — б) $275$ кг/м $^3$ г) $\sqrt{1{,}2^2 + 0{,}9^2} = 1{,}5$ Н. Вариант 3 ( $300$ см $^3$ $20$ см, $15$ см, $F_1 = 0{,}8$ Н, $F_3 = 0{,}6$ Н вверх): а) $0{,}8$ Н; в) $1400$ кг/м $^3$ б) $300$ кг/м $^3$ г) $\sqrt{0{,}8^2 + 0{,}6^2} = 1{,}0$ Н.

Ответ

а) $0{,}4$ Н; б) $200$ кг/м $^3$ в) $1800$ кг/м $^3$ г) $0{,}5$ Н.

Ответ

а) $0{,}4$ Н; б) $200$ кг/м $^3$ в) $1800$ кг/м $^3$ г) $0{,}5$ Н.

Главная идея

Удачная точка для моментов — центр верхнего шарика: там пересекаются все силы на верхний шарик, а сила стержня для всей гантели внутренняя. Моменты дают массу нижнего шарика, вертикаль — верхнего, равновесие одного шарика — силу стержня.

Жёсткая система тел в равновесии с неизвестной внутренней силой — моменты относительно точки, через которую проходят неизвестные силы, затем баланс сил для всей системы и для одной части.

Где легко ошибиться

Брать для верхнего шарика полную выталкивающую силу; забыть знак вертикальной силы на нижний шарик (она получается направленной вниз); считать силу стержня вертикальной; в варианте 2 оставить F₃ направленной вверх.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 3, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет.

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Закон Архимеда
Момент силы и условия равновесия твёрдого тела
Плотность: m = ρV

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →