МОШ по физике 2026/27 · Физика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Материальные точки $A$ $B$ и $C$ находятся в вершинах равностороннего треугольника. В момент $t = 0$ они начинают двигаться с постоянными скоростями. На рисунке, представленном ниже, можно видеть начальные положения точек, направления их скоростей и траектории (штриховые линии). Модули скоростей и длина стороны треугольника указаны на рисунке.

а) (2 балла) Чему равно наименьшее расстояние между точками $B$ и $C$ Ответ дайте в метрах, округлите до целых.

б) (2 балла) Сколько раз после начала движения три точки окажутся на одной прямой?

в) (1 балл) Каков модуль скорости сближения точек $A$ и $B$ через 4 с после начала движения? Учтите, что при удалении точек друг от друга скорость сближения отрицательна. Ответ дайте в м/с, округлите до целых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Сначала сними с рисунка сторону и три скорости с их направлениями. Удобно ввести оси: A в начале координат, сторона BC вертикальна. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–в проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора. Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри точки на треугольнике

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три точки на треугольнике

Когда расстояние BC наименьшее, сколько раз три точки встанут на одну прямую и как меняется расстояние AB через 4 с?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: выпиши координаты A, B, C как функции t и посчитай |BC|² для t = 2, 4, 6 с.

Подсказка 1

Запиши координаты всех трёх точек как функции времени: $x = x_0 + v_xt$ $y = y_0 + v_yt$ Для этого разложи скорости $B$ и $C$ по осям — они направлены вдоль сторон под углом $30°$ к горизонтали.

Подсказка 2

Квадрат расстояния $|BC|^2$ — квадратный трёхчлен от $t$ наименьшее значение в вершине параболы. Три точки на одной прямой, когда площадь треугольника $ABC$ равна нулю: $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ Скорость сближения — это минус скорость роста расстояния $|AB|$

Разобрать решение по шагам

Координаты точек в любой момент

Зачем: при постоянных скоростях каждая координата растёт линейно, и все вопросы сводятся к алгебре.

Поместим $A$ в начало координат, ось $x$ — вправо, ось $y$ — вверх. Сторона $24$ м, поэтому

A_0(0;\,0),\qquad B_0(12\sqrt3;\,12),\qquad C_0(12\sqrt3;\,-12)\ \text{(м)}.

Скорость $A$ — вверх: $\vec v_A = (0;\,6)$ м/с. Точки $B$ и $C$ идут к $A$ вдоль сторон, наклонённых на $30°$ к горизонтали:

\vec v_B = 6\left(-\tfrac{\sqrt3}{2};\,-\tfrac12\right) = (-3\sqrt3;\,-3)\ \text{м/с},

\vec v_C = 3\left(-\tfrac{\sqrt3}{2};\,\tfrac12\right) = \left(-\tfrac{3\sqrt3}{2};\,\tfrac32\right)\ \text{м/с}.

а) Наименьшее расстояние BC — вершина параболы

Зачем: расстояние меняется не линейно, но его квадрат — квадратный трёхчлен от $t$ минимум которого находится по формуле вершины.

Разность координат $C$ и $B$

x_C - x_B = \tfrac{3\sqrt3}{2}\,t,\qquad y_C - y_B = -24 + 4{,}5\,t.

Тогда

\begin{aligned}|BC|^2 &= \tfrac{27}{4}t^2 + (24 - 4{,}5t)^2\\[0.45em] &= 27t^2 - 216t + 576\end{aligned}

(в м², $t$ — в секундах). Вершина параболы — при $t = \dfrac{216}{2\cdot 27} = 4$ с:

\begin{aligned}&|BC|_{\min}^2\\[0.45em] &= 27\cdot 16 - 216\cdot 4 + 576 = 144,\end{aligned}

|BC|_{\min} = 12\ \text{м}.

б) Когда три точки на одной прямой

Зачем: точки на одной прямой — значит, треугольник $ABC$ «сплющился», его площадь равна нулю. Площадь через векторы $\vec{AB} = (x_1;\,y_1)$ и $\vec{AC} = (x_2;\,y_2)$ равна $\tfrac12|x_1y_2 - x_2y_1|$ .

С учётом $\vec v_A$ координаты векторов $\vec{AB} = (x_1;\,y_1)$ и $\vec{AC} = (x_2;\,y_2)$

x_1 = \sqrt3\,(12 - 3t),\qquad y_1 = 12 - 9t,

x_2 = \sqrt3\,(12 - 1{,}5t),\qquad y_2 = -12 - 4{,}5t.

Множитель $\sqrt3$ общий у $x_1$ и $x_2$ вынесем его: $x_1y_2 - x_2y_1 = \sqrt3\,D$ , где

\begin{aligned}D &= (12 - 3t)(-12 - 4{,}5t)\\[0.45em] &\quad - (12 - 1{,}5t)(12 - 9t)\\[0.45em] &= 108t - 288.\end{aligned}

Слагаемые с $t^2$ сократились ( $13{,}5t^2 - 13{,}5t^2$ ), уравнение линейное и имеет один корень $t = \dfrac{288}{108} = \dfrac83 \approx 2{,}67$ с. Значит, на одной прямой точки окажутся один раз: до этого момента обход $A \to B \to C$ идёт в одну сторону, после — в другую, и знак уже не меняется.

в) Скорость сближения A и B через 4 с

Зачем: скорость сближения — это то, насколько быстро уменьшается расстояние $|AB|$ то есть проекция относительной скорости на прямую $AB$ со знаком «минус».

При $t = 4$ с: $A(0;\,24)$ $B(12\sqrt3 - 12\sqrt3;\ 12 - 12) = (0;\,0)$ — точка $B$ как раз пришла в начальное положение $A$ а $A$ поднялась на $24$ м. Прямая $AB$ вертикальна, $B$ ниже $A$

Скорость $B$ относительно $A$

\vec v_B - \vec v_A = (-3\sqrt3;\ -3 - 6) = (-3\sqrt3;\ -9)\ \text{м/с}.

Её проекция на направление от $A$ к $B$ (вниз) равна $+9$ м/с: расстояние растёт со скоростью $9$ м/с, точки удаляются. Скорость сближения со знаком $-9$ м/с, её модуль — $9$ м/с.

Через 4 с: B в начальном положении A, A поднялась на 24 м. Чёрная стрелка — скорость B относительно A, зелёная — её проекция на AB: 9 м/с от A, точки удаляются. В этот же момент |BC| = 12 м — минимум.

Проверка

Проверка: при $t = 4$ с $|BC|^2 = (6\sqrt3)^2 + 6^2 = 144$ — те же $12$ м; в этот момент $\vec{BC}\cdot(\vec v_C - \vec v_B) = 6\sqrt3\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2} + (-6)\cdot 4{,}5$ , то есть $27 - 27 = 0$ — расстояние перестаёт уменьшаться, как и должно быть в минимуме. Независимо: правила модели (visuals/rules/p9q1-1-points.mjs) с шагом времени $1$ мс находят минимум $12{,}000$ м при $t = 4{,}000$ с, одну смену знака площади и производную $|AB|$ при $t = 4$ с, равную $+9$ м/с.

Другие варианты (вопросы те же): вариант 2 (сторона $24$ м; $v_A = 12$ $v_B = 6$ $v_C = 4$ м/с) — $|BC|_{\min} \approx 7{,}86 \approx 8$ м при $t \approx 4{,}29$ с; на одной прямой один раз ( $t = 2{,}4$ с); через $4$ с $B$ снова в начальной точке $A$ точки удаляются со скоростью $\tfrac{v_B}{2} + v_A = 15$ м/с. Вариант 3 ( $16$ м; $12$ $4$ $3$ м/с) — $|BC|_{\min} \approx 3{,}84 \approx 4$ м; один раз ( $t \approx 2{,}29$ с); $2 + 12 = 14$ м/с. Во всех вариантах член с $t^2$ в условии коллинеарности сокращается: $v_Bv_C + v_A(v_C - v_B) = 0$ .

Ответ

а) $12$ м; б) $1$ раз; в) $9$ м/с (точки удаляются: со знаком скорость сближения $-9$ м/с).

Ответ

а) $12$ м; б) $1$ раз; в) $9$ м/с (точки удаляются: со знаком скорость сближения $-9$ м/с).

Главная идея

Равномерные движения удобно записать в координатах: квадрат расстояния — парабола по времени (минимум в вершине), коллинеарность — нулевая площадь треугольника, скорость сближения — проекция относительной скорости на соединяющую прямую.

Несколько тел с постоянными скоростями, вопросы «наименьшее расстояние», «на одной прямой», «скорость сближения» — координаты как функции времени и относительная скорость.

Где легко ошибиться

Брать минимум |BC| в момент, когда одна из точек проходит вершину; считать скорость сближения как разность модулей скоростей; забыть, что A тоже движется (вертикально), и искать прямую через неподвижную A; потерять знак: через 4 с точки удаляются.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 1, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

В подпункте в) организатор спрашивает «модуль скорости сближения» и одновременно оговаривает, что при удалении точек скорость сближения отрицательна. Через 4 с точки A и B удаляются: со знаком скорость сближения равна −9 м/с, в ответах организатора стоит 9 — её модуль. В проверке по подпунктам засчитывается 9.

Условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет. В в) организатор принимает модуль (9), хотя со знаком скорость сближения отрицательна.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равномерное движение в координатах: x = x₀ + vₓt
Проекции вектора на оси, углы 30° и 60°
Вершина параболы
Относительная скорость

Приёмы решения: Относительное движение · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →