МОШ по физике 2026/27 · Физика · 9 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Материальная точка движется вдоль оси $Ox$ На графике, представленном ниже, можно видеть зависимость проекции её ускорения $a_x$ от времени. Моменты времени $t_0$ – $t_4$ и два дополнительных условия указаны на рисунке.

Все ответы округлите до целых: скорости укажите в м/с, координату и путь — в метрах.

а) (1 балл) Найдите проекцию скорости точки в момент $t_4$

б) (1 балл) Найдите координату точки в момент $t_0$

в) (1 балл) Найдите среднюю проекцию скорости за время от $t_0$ до $t_3$

г) (2 балла) Какой путь прошла точка за время от $t_0$ до $t_3$

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2026/27

Сними с графика ступени ускорения, моменты t₀–t₄ и два условия над графиком. Начальные скорость и координата не даны — их и задают эти два условия. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–г проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора. Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри графика: ускорение, скорость, координата

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три графика: ускорение, скорость, координата

Какие начальные скорость и координата дают оба условия рисунка — и какой путь точка пройдёт до t₃?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: посчитай площади под графиком ускорения по участкам и выпиши скорость в моменты 10, 20, 30, 50, 60 с.

Подсказка 1

Изменение скорости за промежуток времени равно площади под графиком $a_x(t)$ (со знаком). Условие $v_x(t_1) = -10$ м/с позволяет найти $v_0 = v_x(t_0)$

Подсказка 2

Изменение координаты — площадь под графиком $v_x(t)$ со знаком; условие $x(t_2) = 0$ даёт $x_0$ Путь — площадь под $|v_x(t)|$ участки, где скорость отрицательна, надо брать по модулю.

Разобрать решение по шагам

Начальная скорость из условия vₓ(t₁)

Зачем: без начальной скорости нельзя построить $v_x(t)$ а условие на рисунке задаёт её в момент $t_1 = 20$ с.

Скорость меняется на площадь под графиком ускорения. От $0$ до $10$ с: $2\cdot 10 = 20$ м/с; от $10$ до $20$ с: $-1\cdot 10 = -10$ м/с. Значит,

\begin{aligned}&v_x(20) = v_0 + 20 - 10 = -10\ \text{м/с}\\[0.45em] &\Rightarrow\ v_0 = -20\ \text{м/с}.\end{aligned}

а) Скорость в момент t₄

Зачем: дальше нужна вся функция $v_x(t)$ и заодно получаем ответ а).

Площади под $a_x(t)$ $0$ – $10$ с: $+20$ $10$ – $30$ с: $-20$ $30$ – $50$ с: $+40$ $50$ – $60$ с — треугольник $\tfrac12\cdot 2\cdot 10 = +10$ м/с. Скорости в узлах:

v_x(10) = 0,\quad v_x(30) = -20,\quad v_x(50) = 20,\quad v_x(60) = 30\ \text{м/с}.

Ответ а): $v_x(t_4) = 30$ м/с.

б) Координата в момент t₀ из условия x(t₂)

Зачем: координата меняется на площадь под графиком $v_x(t)$ а условие $x(30\ \text{с}) = 0$ связывает её с $x_0$

На каждом участке с постоянным ускорением $v_x(t)$ — отрезок прямой, площадь — треугольник или трапеция. От $0$ до $10$ с скорость растёт от $-20$ до $0$ $\Delta x = \tfrac12(-20)\cdot 10 = -100$ м. От $10$ до $30$ с — от $0$ до $-20$ $\Delta x = -200$ м. Итого

x(30) = x_0 - 300 = 0\quad\Rightarrow\quad x_0 = 300\ \text{м}.

в) Средняя проекция скорости от t₀ до t₃

Зачем: средняя проекция скорости — это перемещение, делённое на время, поэтому нужна координата в момент $t_3 = 50$ с.

От $30$ до $50$ с скорость растёт от $-20$ до $+20$ м/с — площадь под графиком равна нулю, $x(50) = x(30) = 0$ Тогда

\langle v_x\rangle = \frac{x(50) - x(0)}{50 - 0} = \frac{0 - 300}{50} = -6\ \text{м/с}.

г) Путь от t₀ до t₃

Зачем: путь — не модуль перемещения: пока скорость отрицательна, точка идёт назад, и эти метры тоже входят в путь.

Скорость меняет знак при $t = 40$ с ( $-20 + 2\cdot 10 = 0$ ); при $t = 10$ с она лишь касается нуля и остаётся отрицательной. Складываем модули площадей:

s = 100 + 200 + 100 + 100 = 500\ \text{м}

(участки $0$ – $10$ $10$ – $30$ $30$ – $40$ с — назад, $40$ – $50$ с — вперёд). Модуль перемещения при этом всего $300$ м.

График

v_x(t)

при

v_0 = -20

м/с; точка — условие

v_x(20) = -10

м/с. Оранжевые площади — движение назад, зелёная — вперёд; число площади стоит рядом с ней по другую сторону оси

t

Перемещение — сумма площадей со знаком (−300 м), путь — сумма модулей (500 м).

Проверка

Проверка: $x(50) = 300 - 100 - 200 - 100 + 100 = 0$ — совпадает с шагом в); путь $500 \ge |x(50) - x(0)| = 300$ м. Независимо: численное интегрирование графика $a_x(t)$ с шагом $1$ мс (checks/rules/p9q1-2-accel.test.mjs) даёт $v_0 = -20$ м/с, $x_0 = 300$ м, $v_x(60) = 30$ м/с и путь $500{,}000$ м.

Другие варианты (вопросы те же): вариант 2 ( $a_x = 1$ м/с² на $0$ – $20$ с, $-2$ на $20$ – $30$ с, $1$ на $30$ – $50$ с, затем линейно до $0$ $t_1 = 10$ с, $v_x(t_1) = -4$ м/с; $x(t_2 = 30\ \text{с}) = 0$ ): $v_0 = -14$ м/с, а) $11$ м/с, б) $120$ м, в) $-4$ м/с, г) $290$ м (скорость меняет знак трижды: при $14$ $23$ и $44$ с). Вариант 3 ( $-1$ на $0$ – $20$ с, $2$ на $20$ – $40$ с, $-1$ на $40$ – $50$ с, затем линейно от $-1$ до $0$ $t_1 = 30$ с, $v_x(t_1) = 10$ м/с; $x(t_2 = 40\ \text{с}) = 0$ ): $v_0 = 10$ м/с, а) $15$ м/с, б) $-200$ м, в) $9$ м/с, г) $600$ м.

Ответ

а) $30$ м/с; б) $300$ м; в) $-6$ м/с; г) $500$ м.

Ответ

а) $30$ м/с; б) $300$ м; в) $-6$ м/с; г) $500$ м.

Главная идея

Площадь под графиком ускорения — изменение скорости, площадь под графиком скорости — изменение координаты (со знаком); два условия на рисунке задают две неизвестные константы v₀ и x₀. Путь — площадь под |v|.

Дан график a(t) и «привязки» v(t₁), x(t₂) — интегрируй графически площадями и подставляй привязки.

Где легко ошибиться

Считать путь равным модулю перемещения (получится 300 м вместо 500 м); считать v₀ = 0; брать площадь под a(t) только до t₁ без знака; забыть треугольник на участке 50–60 с.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 9 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 2, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение: v = v₀ + at
Площадь под графиком скорости — перемещение
Средняя скорость и путь

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →