МОШ по физике 2026/27 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

На рисунке, представленном ниже, можно видеть на миллиметровке предмет и его изображение в тонкой собирающей линзе. Предмет — ветвь гиперболы: она лежит в плоскости рисунка и неограниченно продолжается вдоль своих асимптот (асимптоты показаны пунктиром). Изображение предмета — дуга окружности. Концы дуги, схематично отмеченные на рисунке кружками, строго говоря, изображению не принадлежат. Главная оптическая ось линзы лежит в плоскости рисунка, но ни линза, ни её ось на рисунке не показаны. Считайте, что формула тонкой линзы выполняется для всех лучей. Координаты — в сантиметрах.

а) (3 балла) Найдите координаты $x$ и $y$ оптического центра линзы. Ответ дайте в сантиметрах, округлите до десятых.

б) (2 балла) Найдите фокусное расстояние линзы. Ответ дайте в сантиметрах, округлите до десятых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Сначала сними с миллиметровки всё, что видно: асимптоты (их наклон и точку пересечения), вершину ветви, концы дуги. Подумай, изображением каких точек предмета могут быть кружки на концах дуги — ведь сама ветвь уходит бесконечно далеко. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Подпункт а) в таблице организатора разбит на две строки — x и y оптического центра; в форме под условием это два поля. Засчитываются только значения из списка организатора (для x и f — по три соседних значения: допуск чтения рисунка). Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГипербола и дуга

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Гипербола и дуга

Где стоит линза и какое у неё фокусное расстояние, если изображение ветви гиперболы — именно эта дуга?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: найди, изображением каких точек ветви являются концы дуги, и где такие изображения лежат относительно линзы.

Подсказка 1

Точка ветви, бесконечно далёкая вдоль асимптоты, посылает на линзу параллельный пучок лучей. Где собирается параллельный пучок, идущий под углом к оси? Значит, где лежат концы дуги?

Подсказка 2

Параллельный пучок под углом $\alpha$ к оси собирается в фокальной плоскости на расстоянии $f\,\mathrm{tg}\,\alpha$ от оси — туда, куда приходит его луч через оптический центр. Асимптоты на рисунке идут под $45°$ вверх и вниз: концы дуги стоят на $f$ выше и ниже оси.

Разобрать решение по шагам

Что изображают концы дуги

Зачем: концы дуги — единственные точки изображения, про которые сразу ясно, чьи они изображения; их положение прямо связано с фокусом и центром линзы.

Ветвь неограниченно продолжается вдоль асимптот. Точка ветви, ушедшая вдоль асимптоты бесконечно далеко, посылает на линзу параллельный пучок лучей, идущих вдоль этой асимптоты. Параллельный пучок линза собирает в фокальной плоскости — в той точке, куда приходит луч пучка, прошедший через оптический центр (он не преломляется). Если асимптота наклонена к главной оси под углом $\alpha$ этот луч приходит в фокальную плоскость на расстоянии

h = f\,\mathrm{tg}\,\alpha

от оси. Сама ветвь до бесконечности не доходит, поэтому и её изображение до этих точек не доходит — вот почему в условии сказано, что концы дуги изображению не принадлежат.

Ось горизонтальна и проходит посередине между концами дуги

Зачем: направление и высота оси — это половина ответа а), и без них не найти $f$

Оба кружка стоят на одной вертикали $x = 7{,}6$ см. Фокальная плоскость перпендикулярна главной оси, значит, ось горизонтальна. Асимптоты по клеткам: $y = x + 0{,}9$ и $y = -x + 11{,}1$ — на $1$ см вправо подъём или спуск на $1$ см, то есть обе наклонены к горизонтали на $\alpha = 45°$ одна вверх, другая вниз. Поэтому концы дуги стоят на одинаковом расстоянии $f\,\mathrm{tg}\,45° = f$ выше и ниже оси, и ось проходит посередине:

y_c = \frac{8 + 4}{2} = 6{,}0\ \text{см}.

Так и должно быть: предмет симметричен относительно горизонтали $y = 6$ (через точку пересечения асимптот), значит, и изображение симметрично относительно оси линзы.

б) Фокусное расстояние — по расстоянию между концами

Зачем: расстояние между концами дуги зависит только от $f$ и наклона асимптот, который мы уже знаем.

Верхний конец — на $f\,\mathrm{tg}\,\alpha$ выше оси, нижний — на столько же ниже:

8 - 4 = 2f\,\mathrm{tg}\,45°\quad\Rightarrow\quad f = \frac{4\ \text{см}}{2\cdot 1} = 2{,}0\ \text{см}.

а) Оптический центр — на f левее фокальной плоскости

Зачем: зная, где фокальная плоскость и чему равно $f$ получаем абсциссу центра линзы.

Предмет слева, изображение действительное справа — значит, концы дуги лежат в задней фокальной плоскости, справа от линзы на расстоянии $f$

x_c = 7{,}6 - 2{,}0 = 5{,}6\ \text{см},\qquad (x_c;\ y_c) = (5{,}6;\ 6{,}0)\ \text{см}.

Концы дуги — изображения бесконечно далёких точек асимптот: параллельные пучки под 45° собираются в фокальной плоскости

x = 7{,}6

на

f

выше и ниже оси. Отсюда

y_c = 6

f = \dfrac{8 - 4}{2} = 2

см,

x_c = 7{,}6 - 2 = 5{,}6

см; проверка: вершина (

a = 3

см) изображается на

b = 6

см — в правую точку дуги.

Проверка: изображение вершины ветви

Зачем: найденная линза должна отобразить в дугу и другие точки ветви — проверим самую удобную, вершину.

Вершина ветви $(2{,}6;\ 6)$ лежит на оси, на расстоянии $a = 5{,}6 - 2{,}6 = 3$ см от линзы. По формуле тонкой линзы

\frac1a + \frac1b = \frac1f\quad\Rightarrow\quad \frac1b = \frac12 - \frac13 = \frac16,\qquad b = 6\ \text{см}.

Изображение вершины — на оси при $x = 5{,}6 + 6 = 11{,}6$ см. Это ровно самая правая точка дуги: окружность имеет центр $(9{,}1;\ 6)$ и радиус $2{,}5$ см, $9{,}1 + 2{,}5 = 11{,}6$ Сошлось.

Проверка

Проверка: правила модели (visuals/rules/p11q1-5-lens.mjs) строят по формуле линзы изображение всей ветви $x = 5{,}1 - 2{,}5\,\mathrm{ch}\,t$ , $y = 6 + 2{,}5\,\mathrm{sh}\,t$ в линзе $(5{,}6;\ 6)$ $f = 2$ см: все точки ложатся на окружность рисунка с точностью лучше $0{,}001$ см, а оцифрованные точки ветви — с точностью $0{,}04$ см (это погрешность чтения рисунка, увеличенная линзой). Перебор положения и фокуса линзы по сетке находит наименьшее расхождение изображения с дугой именно при $(5{,}6;\ 6{,}0)$ и $f = 2{,}0$ см. Чтение рисунка: сдвиг кружков на $0{,}05$ см меняет $x_c$ и $f$ на те же $0{,}05$ см — поэтому организатор принимает $x$ от $5{,}5$ до $5{,}7$ и $f$ от $1{,}9$ до $2{,}1$

Другие варианты (вопросы те же): вариант 2 — асимптоты с наклоном $\pm\tfrac43$ концы дуги на $x = 6{,}0$ при $y = 7{,}5$ и $3{,}5$ $y_c = 5{,}5$ см, $f = \dfrac{7{,}5 - 3{,}5}{2\cdot 4/3} = 1{,}5$ см, $x_c = 6{,}0 - 1{,}5 = 4{,}5$ см; проверка: вершина при $x \approx 2{,}49$ $a \approx 2{,}01$ см, $b \approx 5{,}95$ см, изображение при $x \approx 10{,}45$ — правый край дуги. Вариант 3 — наклон $\pm\tfrac34$ концы на $x = 7{,}1$ при $y = 6{,}2$ и $3{,}8$ $y_c = 5{,}0$ см, $f = \dfrac{2{,}4}{2\cdot 0{,}75} = 1{,}6$ см, $x_c = 7{,}1 - 1{,}6 = 5{,}5$ см; вершина $2{,}6$ $a = 2{,}9$ см, $b \approx 3{,}57$ см, изображение при $x \approx 9{,}07$ — правый край дуги.

Ответ

а) оптический центр $(5{,}6;\ 6{,}0)$ см; б) $f = 2{,}0$ см.

Ответ

а) оптический центр $(5{,}6;\ 6{,}0)$ см; б) $f = 2{,}0$ см.

Главная идея

Бесконечно далёкие точки предмета изображаются в фокальной плоскости: концы дуги — изображения «концов» ветви вдоль асимптот. Они задают фокальную плоскость (x = 7,6), ось посередине между ними (y = 6) и f = Δy/(2 tg α) = 2 см.

Предмет уходит в бесконечность (асимптоты, лучи, прямые), а изображение обрывается в конечных точках — эти точки лежат в фокальной плоскости, их высота над осью f·tg α.

Где легко ошибиться

Считать концы дуги изображениями концов ветви у края рамки (ветвь продолжается дальше); брать f равным всему расстоянию между концами (4 см) вместо половины; ставить линзу в центр гиперболы или в центр окружности; в вариантах 2 и 3 забыть разделить на tg α (асимптоты там не под 45°).

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 5, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет. Для x и f организатор принимает по три значения (допуск чтения рисунка).

Продолжить тему: Отражение и изображение →

Тема, знания и приёмы

Отражение и изображение · Продвинутая подготовка

Тонкая собирающая линза: фокус, фокальная плоскость, оптический центр
Параллельный пучок под углом к оси собирается в фокальной плоскости
Формула тонкой линзы 1/a + 1/b = 1/f
Асимптоты гиперболы, наклон прямой по клеткам

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →