МОШ по физике 2026/27 · Физика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Частица массой $m$ с зарядом $q$ движется в плоскости рисунка в однородном магнитном поле $\vec B$ перпендикулярном этой плоскости. Сила сопротивления среды даётся формулой $\vec F_{\text{с}} = -k\vec v$ . Частица вылетает со скоростью $\vec v_0$ направленной вдоль оси $x$ и, замедляясь, неограниченно приближается к точке $S$ — предельной точке траектории. На рисунке, представленном ниже, можно видеть трек частицы: точку вылета $O$ предельную точку $S$ и точку трека $P$ Направление поля, скорость $v_0$ и положение точки $P$ на треке указаны под рисунком. Координаты — в сантиметрах. Силу тяжести не учитывайте.

а) (1 балл) Если провести опыт без магнитного поля, оставив прежними начальную скорость частицы и свойства среды, как изменится полная длина её пути по сравнению с опытом на рисунке? В ответе укажите номер колонки, в которой написано верное утверждение.

Колонки: 1 — Увеличится. 2 — Уменьшится. 3 — Не изменится. 4 — Ответ зависит от значений параметров.

б) (1 балл) Найдите полный путь, пройденный частицей. Ответ дайте в см, округлите до десятых.

в) (2 балла) Найдите отношение $\dfrac{|q|B}{m}$ Ответ дайте в с $^{-1}$ округлите до целых.

г) (1 балл) Найдите модуль скорости частицы в точке $P$ Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Сними с рисунка координаты O, S и P, переведи v₀ в см/с. Подумай, какая из двух сил меняет модуль скорости, а какая — только направление. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–г проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора (в а) — номер колонки своего варианта). Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТрек частицы

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Трек частицы

При каких γ и ω трек кончается в точке S и как меняются скорость и путь по дороге?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй вектор OS и скорость v₀ и разложи m·v₀ на часть вдоль OS и часть поперёк.

Подсказка 1

Магнитная сила $q\vec v\times\vec B$ перпендикулярна скорости: она поворачивает скорость, но не меняет её модуль. Модуль уменьшает только сопротивление: $m\dfrac{d|v|}{dt} = -k|v|$ . Как отсюда найти путь — и зависит ли он от поля?

Подсказка 2

Сложи уравнение движения $m\,\Delta\vec v = q\,\Delta\vec r\times\vec B - k\,\Delta\vec r$ по всему движению — от $O$ до остановки в $S$ Слева $-m\vec v_0$ справа — две перпендикулярные части: вдоль $\vec{OS}$ и поперёк. Получится прямоугольный треугольник.

Разобрать решение по шагам

Что делает каждая сила

Зачем: в задаче две силы, и нужно понять, какая из них отвечает за «сколько частица пройдёт», а какая — за «куда она повернёт».

Магнитная сила $q\vec v\times\vec B$ всё время перпендикулярна скорости: работы не совершает и модуль скорости не меняет, только поворачивает её. Сила сопротивления $-k\vec v$ направлена против скорости и уменьшает её модуль:

m\frac{d|v|}{dt} = -k|v|\quad\Rightarrow\quad |v| = v_0e^{-\gamma t},\qquad \gamma = \frac{k}{m}.

Скорость убывает по одному и тому же закону — с полем и без него.

а) Путь не зависит от поля

Зачем: путь — это сумма $|v|\,\Delta t$ за всё время, а модуль скорости от поля не зависит.

s = \int_0^\infty v_0e^{-\gamma t}\,dt = \frac{v_0}{\gamma}.

В этой формуле нет $B$ без магнитного поля частица пройдёт по прямой ровно тот же путь. Верное утверждение «Не изменится» — колонка 3. Чтобы найти сам путь, нужно знать $\gamma$ — её даст рисунок.

Импульс за всё движение: прямоугольный треугольник

Зачем: уравнение движения за малое время $m\,\Delta\vec v = q\,\Delta\vec r\times\vec B - k\,\Delta\vec r$ содержит перемещение $\Delta\vec r$ а сумма всех перемещений — это вектор $\vec{OS}$ который виден на рисунке.

Сложим по всему движению (скорость меняется от $\vec v_0$ до нуля):

-m\vec v_0 = q\,\vec{OS}\times\vec B - k\,\vec{OS},

m\vec v_0 = k\vec{OS} + \bigl(-q\vec{OS}\times\vec B\bigr).

Первое слагаемое направлено вдоль $\vec{OS}$ второе — перпендикулярно ему, его модуль $|q|B\,|OS|$ Значит, $m\vec v_0$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, а $\alpha$ — угол между $\vec v_0$ (ось $x$ ) и $\vec{OS}$

k\,|OS| = mv_0\cos\alpha,\qquad |q|B\,|OS| = mv_0\sin\alpha.

в), б) Числа с рисунка

Зачем: осталось снять $\vec{OS}$ с миллиметровки и подставить.

$O(1;\,8)$ $S(9;\,2)$ $\vec{OS} = (8;\,-6)$ см, $|OS| = 10$ см, $\cos\alpha = 0{,}8$ $\sin\alpha = 0{,}6$ Скорость $v_0 = 2{,}0$ м/с $= 200$ см/с:

\gamma = \frac{k}{m} = \frac{v_0\cos\alpha}{|OS|} = \frac{200\cdot 0{,}8}{10} = 16\ \text{с}^{-1},

\frac{|q|B}{m} = \frac{v_0\sin\alpha}{|OS|} = \frac{200\cdot 0{,}6}{10} = 12\ \text{с}^{-1}.

Полный путь:

s = \frac{v_0}{\gamma} = \frac{200}{16} = 12{,}5\ \text{см}.

Он длиннее $|OS| = 10$ см — частица идёт по кривой.

\vec{OS} = (8;\,-6)

см,

|OS| = 10

см:

\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\omega}{\gamma} = \dfrac{6}{8}

. Импульс

m v_0

= (сопротивление вдоль

OS

) + (магнитная часть поперёк

OS

\gamma\cdot 10

см

= 200\cdot 0{,}8

см/с,

\omega\cdot 10

см

= 200\cdot 0{,}6

см/с.

г) Скорость в точке P

Зачем: в точке $P$ известно только расстояние до $S$ — нужно связать его со скоростью.

Сложим то же уравнение от момента, когда частица в точке $P$ до конца: теперь слева $-m\vec v_P$ а перемещение — $\vec{PS}$ Получится такой же треугольник с тем же углом:

m\,v_P = |PS|\sqrt{k^2 + q^2B^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{v_P}{v_0} = \frac{|PS|}{|OS|}.

Расстояние до предельной точки пропорционально скорости. По условию $SP = \dfrac{OS}{2}$ поэтому

v_P = \frac{v_0}{2} = 1{,}0\ \text{м/с}.

Проверка

Проверка: в комплексной записи $v = v_x + iv_y$ уравнение движения варианта 1 (поворот по часовой стрелке) — $\dot v = -(\gamma + i\omega)v$ , откуда $r(t) = r_O + \dfrac{v_0}{\gamma + i\omega}\bigl(1 - e^{-(\gamma + i\omega)t}\bigr)$ . При $\gamma = 16$ $\omega = 12$ с $^{-1}$ $v_0 = 200$ см/с эта кривая проходит через все оцифрованные точки трека с точностью $0{,}02$ см и через $P$ с точностью $0{,}004$ см ( $P$ — при $t = \dfrac{\ln 2}{\gamma} \approx 0{,}043$ с). Независимо: численное интегрирование уравнения $m\dot{\vec v} = q\vec v\times\vec B - k\vec v$ (метод Рунге — Кутты, checks/rules/p11q1-2-track.test.mjs) даёт путь $12{,}500$ см, предел $(9;\,2)$ и скорость $1{,}000$ м/с там, где до $S$ осталось $5$ см; при $\omega = 0$ путь тот же. Знак заряда (не спрашивается): поле к нам и поворот по часовой стрелке — $q > 0$

Другие варианты (вопросы те же, колонки а) в другом порядке): вариант 2 ( $v_0 = 1{,}2$ м/с, $O(1;\,1{,}5)$ $S(7;\,7{,}5)$ $\vec{OS} = (6;\,6)$ $|OS| \approx 8{,}49$ см, $\alpha = 45°$ ): $\gamma = \omega = 10$ с $^{-1}$ путь $120/10 = 12{,}0$ см, $|q|B/m = 10$ с $^{-1}$ $v_P = 0{,}6$ м/с; «Не изменится» — колонка 1. Вариант 3 ( $v_0 = 1{,}8$ м/с, $O(1;\,1)$ $S(6{,}4;\,8{,}2)$ $\vec{OS} = (5{,}4;\,7{,}2)$ , $|OS| = 9$ см, $\cos\alpha = 0{,}6$ ): $\gamma = 12$ $\omega = 16$ с $^{-1}$ путь $15{,}0$ см, $|q|B/m = 16$ с $^{-1}$ $v_P = 0{,}9$ м/с; «Не изменится» — колонка 2.

Ответ

а) колонка $3$ (путь не изменится); б) $12{,}5$ см; в) $12$ с $^{-1}$ г) $1{,}0$ м/с.

Ответ

а) колонка $3$ (путь не изменится); б) $12{,}5$ см; в) $12$ с $^{-1}$ г) $1{,}0$ м/с.

Главная идея

Магнитная сила только поворачивает скорость, сопротивление уменьшает её модуль: |v| = v₀e^(−γt), путь v₀/γ от поля не зависит. Импульс за всё движение раскладывается на две перпендикулярные части: kOS вдоль OS и |q|B·OS поперёк — угол между v₀ и OS даёт tg α = ω/γ, а расстояние до S пропорционально скорости.

Движение с силой −kv и силой, перпендикулярной скорости (магнитное поле), и вопросы про предельную точку и путь — сложи уравнение движения по времени: сумма скоростей — перемещение, сумма ускорений — изменение скорости.

Где легко ошибиться

Думать, что магнитное поле «удлиняет» путь (трек ведь изогнут) или «укорачивает» его; считать путь равным |OS|; искать радиус окружности, как без сопротивления; перепутать γ и ω при чтении угла (tg α = ω/γ, а не γ/ω); забыть перевести v₀ в см/с.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 2, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет. В а) организатор принимает номер колонки своего варианта: колонки с теми же четырьмя утверждениями напечатаны в разном порядке, «Не изменится» — колонка 3, 1 и 2 в вариантах 1, 2, 3.

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →

Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Продвинутая подготовка

Сила Лоренца: направление и то, что она не совершает работы
Второй закон Ньютона в форме mΔv = FΔt
Сила сопротивления −kv и экспоненциальное убывание скорости
Разложение вектора на две перпендикулярные составляющие

Приёмы решения: Уравнение сил · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →