МОШ по физике 2026/27 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

В сосуде постоянного объёма $V$ при температуре $T_0$ находятся два вещества, 1 и 2, и больше ничего. Сосуд очень медленно охлаждают. В жидком состоянии вещества не смешиваются и не растворяются друг в друге. Пары считайте идеальными газами, объёмом жидкостей пренебрегите. На графике, представленном ниже, можно видеть зависимость давления насыщенного пара веществ 1 и 2 от температуры. Под графиком указаны температура $T_0$ и значения комбинаций $\dfrac{\nu_1 R}{V}$ и $\dfrac{\nu_2 R}{V}$ где $\nu_1$ и $\nu_2$ — количества веществ 1 и 2 в сосуде, $R$ — универсальная газовая постоянная.

а) (1 балл) Найдите давление в сосуде при температуре $T_0$ Ответ дайте в кПа, округлите до целых.

б) (2 балла) Найдите давление в сосуде при температуре 380 К. Ответ дайте в кПа, округлите до целых.

в) (2 балла) Найдите давление в сосуде при температуре 356 К. Ответ дайте в кПа, округлите до целых.

Рисунок к условию

Твои ответы по подпунктам

Засчитываются только значения, которые перечислил организатор, — с округлением, указанным в условии. Каждый подпункт проверяется отдельно. Выбери свой вариант: на странице разобран вариант 1.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Московская олимпиада школьников по физике
Этап: Отборочный этап, первый тур
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Для каждого вещества отдельно реши, пар это или пар над жидкостью: сравни давление, которое было бы у него как у газа, с давлением насыщенного пара на графике. Ответы по подпунктам можно сверить в форме под условием.

Ответы по подпунктам а–в проверяются в форме под условием; засчитываются только значения из списка организатора (для б и в это диапазоны — допуск чтения графика). Проверка чисел не проверяет рассуждение — сравни его с разбором.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСосуд с двумя веществами

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Сосуд с двумя веществами

При какой температуре каждое вещество начинает конденсироваться и каким становится давление в сосуде?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: проведи на графике прямые 7T/20 и 3T/20 и найди, где каждая пересекает свою кривую.

Подсказка 1

Пока $\dfrac{\nu_iRT}{V} < p_{\text{нас},i}(T)$ , вещество $i$ целиком пар, и его давление равно $\dfrac{\nu_iRT}{V}$ жидкость при таком давлении не удержалась бы — испарилась бы.

Подсказка 2

Когда $\dfrac{\nu_iRT}{V}$ становится больше $p_{\text{нас},i}(T)$ (после точки росы), столько пара при этой температуре быть не может: лишнее конденсируется, и давление пара равно $p_{\text{нас},i}(T)$ Жидкости не смешиваются, поэтому каждое вещество ведёт себя так, будто другого нет, и давления складываются.

Разобрать решение по шагам

Правило для каждого вещества и для сосуда

Зачем: вещества в задаче не мешают друг другу, поэтому сначала решим вопрос «пар или пар над жидкостью» для каждого отдельно, а потом сложим.

Жидкости не смешиваются и не растворяются друг в друге — значит, над жидкостью 1 давление насыщенного пара вещества 1 то же, что и без вещества 2 (это его $p_{\text{нас},1}(T)$ с графика), и наоборот. Пары — идеальные газы, по закону Дальтона давление в сосуде

p = p_1 + p_2.

Для вещества $i$ возможны два состояния. Если оно целиком пар, то $p_i = \dfrac{\nu_iRT}{V}$ — так можно, только пока это меньше $p_{\text{нас},i}(T)$ Если же $\dfrac{\nu_iRT}{V} > p_{\text{нас},i}(T)$ , весь этот пар не поместится: часть конденсируется, а давление пара станет равным насыщенному. Итог одной формулой:

p_i = \min\!\left(\dfrac{\nu_iRT}{V},\,p_{\text{нас},i}(T)\right).

Числа под графиком даны прямо в нужном виде: $\dfrac{\nu_1RT}{V} = \dfrac{7}{20}\,T$ , $\dfrac{\nu_2RT}{V} = \dfrac{3}{20}\,T$ кПа ( $T$ в кельвинах).

а) При T₀ = 390 К оба вещества — пар

Зачем: в начальном состоянии нужно сначала проверить, нет ли уже жидкости, — иначе формула идеального газа даст лишнее.

Давления — в кПа:

\begin{aligned}&\dfrac{\nu_1RT_0}{V} = \dfrac{7}{20}\cdot 390 = 136{,}5\\[0.45em] &< p_{\text{нас},1}(390) \approx 174,\end{aligned}

\begin{aligned}&\dfrac{\nu_2RT_0}{V} = \dfrac{3}{20}\cdot 390 = 58{,}5\\[0.45em] &< p_{\text{нас},2}(390) \approx 120.\end{aligned}

Оба вещества — ненасыщенный пар, жидкости нет:

p = 136{,}5 + 58{,}5 = 195\ \text{кПа}.

б) При 380 К вещество 1 уже конденсируется

Зачем: при охлаждении давление «газа» $\nu RT/V$ падает медленно (линейно), а давление насыщенного пара — быстро, поэтому в какой-то момент пар становится насыщенным. Проверяем оба вещества.

Давления — в кПа:

\begin{aligned}&\dfrac{\nu_1RT}{V} = \dfrac{7}{20}\cdot 380 = 133\\[0.45em] &> p_{\text{нас},1}(380) \approx 126\end{aligned}

— вещество 1 уже прошло точку росы (около $381{,}8$ К), часть его — жидкость, его пар насыщен: $p_1 \approx 126$ кПа.

\begin{aligned}&\dfrac{\nu_2RT}{V} = \dfrac{3}{20}\cdot 380 = 57\\[0.45em] &< p_{\text{нас},2}(380) \approx 91\end{aligned}

— вещество 2 по-прежнему пар: $p_2 = 57$ кПа.

p \approx 126 + 57 = 183\ \text{кПа}.

Здесь ответ зависит от чтения кривой: ошибка в $1$ кПа меняет его на $1$ кПа — поэтому организатор принимает $181$ – $185$ кПа.

в) При 356 К насыщены оба

Зачем: вещество 2 тоже рано или поздно проходит свою точку росы — проверяем, случилось ли это к 356 К.

Давления — в кПа:

\begin{aligned}&\dfrac{\nu_1RT}{V} = \dfrac{7}{20}\cdot 356 = 124{,}6\\[0.45em] &> p_{\text{нас},1}(356) \approx 54\ \Rightarrow\ p_1 \approx 54;\end{aligned}

\begin{aligned}&\dfrac{\nu_2RT}{V} = \dfrac{3}{20}\cdot 356 = 53{,}4\\[0.45em] &> p_{\text{нас},2}(356) \approx 44\ \Rightarrow\ p_2 \approx 44.\end{aligned}

Вещество 2 начало конденсироваться около $362{,}6$ К. Теперь оба пара насыщены, и давление в сосуде — просто сумма двух кривых графика:

p \approx 54 + 44 = 98\ \text{кПа}

(чтение двух кривых — организатор принимает $96$ – $100$ кПа).

Прямые

\dfrac{\nu RT}{V}

(штрих) и кривые насыщенного пара. Левее точки росы прямая выше кривой — пар насыщен, давление идёт по кривой; правее — по прямой. При 380 К: 126 + 57 = 183 кПа; при 356 К: 54 + 44 = 98 кПа.

Проверка

Проверка: правила модели (visuals/rules/p11q1-4-vapor.mjs) перебирают температуру от $350$ до $390$ К с шагом $0{,}01$ К: давление в сосуде растёт с температурой без скачков, вещество 1 переходит в насыщенное состояние один раз — при $381{,}8$ К, вещество 2 — при $362{,}6$ К; сдвиг каждой кривой на $\pm 1$ кПа оставляет ответы б) и в) внутри списков организатора. Предельный случай: если бы обоих веществ было вдвое больше, при $356$ К давление не изменилось бы — насыщенный пар не зависит от количества вещества, растёт только доля жидкости.

Другие варианты (вопросы того же вида, свои температуры и числа на графике; $T_0 = 390$ К везде). Вариант 2 ( $\dfrac{\nu_1R}{V} = \dfrac29$ , $\dfrac{\nu_2R}{V} = \dfrac14$ кПа/К): а) $86{,}7 < 178{,}9$ и $97{,}5 < 120{,}2$ — оба пар, $p = 184{,}2 \approx 184$ кПа; б) при $378$ К вещество 1 — пар ( $84 < 119{,}5$ ), вещество 2 насыщено ( $94{,}5 > 86{,}0$ ): $84 + 86 = 170$ кПа; в) при $360$ К насыщены оба: $62 + 50 = 112$ кПа. Вариант 3 ( $\dfrac{3}{10}$ и $\dfrac25$ кПа/К): а) здесь важная ловушка — вещество 2 насыщено уже при $T_0$ $\dfrac25\cdot 390 = 156 > p_{\text{нас},2}(390) \approx 118$ кПа, часть его с самого начала — жидкость, поэтому $p = 117 + 118 = 235$ кПа, а не $\dfrac{7}{10}\cdot 390 = 273$ кПа; б) при $381$ К: $114{,}3 < 131{,}4$ (пар) и насыщенный пар 2 — $94{,}0$ $208{,}3 \approx 208$ кПа; в) при $362$ К насыщены оба: $66 + 56 = 122$ кПа.

Ответ

а) $195$ кПа; б) $183$ кПа (принимаются $181$ – $185$ ); в) $98$ кПа (принимаются $96$ – $100$ ).

Ответ

а) $195$ кПа; б) $183$ кПа (принимаются $181$ – $185$ ); в) $98$ кПа (принимаются $96$ – $100$ ).

Главная идея

Каждое вещество — либо ненасыщенный пар с давлением νRT/V, либо насыщенный пар над своей жидкостью с давлением p_нас(T): берётся меньшее из двух. Жидкости не смешиваются, поэтому вещества не мешают друг другу и давления складываются.

Закрытый сосуд, медленное охлаждение, график давления насыщенного пара и количество вещества (νR/V) — сравни прямую νRT/V с кривой p_нас(T): точка пересечения — точка росы.

Где легко ошибиться

Считать всё время p = (ν₁ + ν₂)RT/V (в варианте 3 так получается 273 кПа вместо 235); складывать насыщенные давления, не проверив, есть ли жидкость; думать, что после начала конденсации давление пара по-прежнему νRT/V; путать кривые 1 и 2.

Источник и авторство

88-я Московская олимпиада школьников по физике · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, первый тур (15–22.10.2026). Задача 4, вариант 1 — разобран на странице; вариант 2 и вариант 3 можно выбрать в модели и в проверке ответов.

Условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Ответы (PDF организатора) ↗ · Публикация заданий на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Официальные ответы были известны до записи авторского решения; затем все подпункты всех 3 вариантов совпадают с ответами организатора. Полных решений организатор не публиковал. Таблицы принимаемых ответов организатора были прочитаны вместе с условиями до решения; полных официальных решений в источнике нет. Для б и в организатор принимает диапазоны (допуск чтения графика, ±2 кПа); наши значения — по оцифровке кривых — внутри диапазонов.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Начальный вход

Уравнение состояния идеального газа: p = νRT/V
Насыщенный пар: его давление зависит только от температуры
Закон Дальтона: давление смеси — сумма парциальных
Чтение графика на миллиметровке

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →