Квадрат и равносторонний треугольник

Перенесём разность на прямую $DF$

Искомый отрезок $BE=DB-DE$. В равностороннем треугольнике $DE=DF$, поэтому удобно отложить длину $DB$ на луче $DF$. Продлим $DF$ до точки $P$ так, чтобы $DP=DB$. Точка $P$ окажется за $F$: ведь $DB>DE=DF$. Уже знаем, что

Осталось доказать $CF=FP$.

Большой треугольник равносторонний

Лучи $DB$ и $DE$ совпадают, как и лучи $DP$ и $DF$, поэтому $\angle BDP=60^\circ$. Треугольник $BDP$ равнобедренный: $DB=DP$. Два остальных угла равны и в сумме дают $120^\circ$, значит, каждый равен $60^\circ$. Таким образом, $BDP$ равносторонний.

Равные треугольники делят угол пополам

Соединим $C$ и $P$. В треугольниках $BCP$ и $DCP$ равны все три пары сторон: $BC=DC$, $BP=DP$, а $CP$ общая. Поэтому равны углы $\angle BPC$ и $\angle CPD$. Точка $C$ находится внутри треугольника $BDP$: она лежит между $E$ и $F$, а эти точки — внутри его сторон $BD$ и $DP$. Значит, $PC$ действительно делит угол $BPD$ на две части. Каждая равна $60^\circ:2=30^\circ$.

Открыть модель к этому разбору ↑

Рассмотрим маленький треугольник $CFP$

Лучи $FC$ и $FE$ совпадают, а лучи $FD$ и $FP$ противоположны. Поэтому

Угол $CPF$ равен уже найденному углу $CPD$, то есть $30^\circ$. Тогда

В треугольнике $CFP$ углы при $C$ и $P$ равны, значит, равны и противоположные им стороны: $FP=CF$.

Соединим два равенства

На первом шаге получили $FP=BE$, а теперь $FP=CF$. Следовательно,