Popov AcademyУсловие
Каждую вершину куба окрасили в чёрный или белый цвет. Обязательно ли найдётся равнобедренный треугольник, все вершины которого одного цвета? (Учитываются и треугольники, не лежащие в одной грани куба.)
О задаче · 7 класс · 4 балла
Для подготовки: 7 класс.
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеИсследуй куб: цвета и треугольники
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Исследуй куб: цвета и треугольники
Нужно одновременно два свойства: три вершины одного цвета и две равные стороны. Равносторонний треугольник тоже подходит.
Нажми на вершину куба или на её букву: белая станет чёрной и наоборот.
Повернуть куб
Поворот меняет только вид. Цвета, выбранные вершины и длины сохраняются.
Те же вершины — крупными кнопками
Твой треугольник
Перейди к шагу 2 и выбери любые три вершины.
Проверка перебирает все 56 троек, включая треугольники внутри куба. Она проверяет только твою раскраску.
Почему на рисунке стороны выглядят иначе?
Куб нарисован в перспективе. Сравнивай настоящие длины: ребро — 1, диагональ грани — √2, диагональ куба — √3. Выбранный треугольник может проходить внутри куба. Равные стороны модель отмечает одинаковыми засечками.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Чтобы опровергнуть слово «обязательно», достаточно найти одну подходящую раскраску.
Подсказка 2
Попробуйте собрать каждый цвет в четыре вершины прямоугольника, у которого стороны имеют разную длину.
Разобрать решение по шагам
Построим контрпример
Назовём вершины нижней грани по кругу , а вершины над ними — . Покрасим чёрным, остальные — белым. На модели чёрную группу выделим синим, белую — оранжевым, чтобы прямоугольники легче различались. Вершины каждого цвета лежат в одном прямоугольнике.
Сравним три длины
У синего прямоугольника одна сторона — ребро куба, другая — диагональ грани. Его диагональ — пространственная диагональ куба. Эти три длины различны: диагональ грани длиннее ребра, а пространственная диагональ длиннее диагонали грани. Это видно по прямоугольным треугольникам: гипотенуза длиннее любого катета.
Почему проверены все тройки
Любые три вершины прямоугольника образуют треугольник с его двумя сторонами и одной диагональю. Значит, у любой синей тройки три разные длины. Оранжевые вершины образуют точно такой же прямоугольник; для них рассуждение такое же. Одноцветного равнобедренного треугольника нет.
Ответ
Нет, не обязательно. Контрпример — раскраска по двум прямоугольникам внутри куба.
Главная идея
Для опровержения общего утверждения достаточно одного контрпримера, но его нужно проверить для всех возможных случаев внутри конструкции.
Как заметить эту идею в другой задаче
В вопросе «обязательно ли» попробуйте сначала построить расположение, которое мешает нужному свойству.
Возможная ошибка
Проверять только треугольники на гранях. Условие разрешает треугольники и внутри куба.
Источник и примечания
Официальный источник
PDF организатора · страницы 3 · задача 2 ↗Математический праздник · 2026 год · учебный сезон 2025/26 · математика · 7 класс · классический матпраздник.
Авторы: М. Евдокимов.
Официальное решение · страницы 9 ↗
Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.
Можете объяснить идею своими словами?
Тема, знания и приёмы
Многогранники и объёмы · Начальный вход
- Куб: ребро, диагональ грани
- Прямоугольник
- Гипотенуза длиннее катета
Приёмы решения: Разделение пространства поиска