Матпраздник 2026 год · учебный сезон 2025/26 · Математика · 7 кл., №6

Условие

Петя и Вася хотят показать следующий фокус. У зрителей есть пять карточек с числами $1,2,3,4,5$ Две из них они отдают Пете, две — Васе, а одну оставляют себе. Сначала Петя называет число на одной из своих карточек, затем Вася называет число на одной из своих, после чего Петя должен назвать число на карточке у зрителей. Как договориться Пете и Васе, чтобы фокус всегда удавался? (Также объясните, почему у них всё получится.)

О задаче · 7 класс · 9 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2026 год · учебный сезон 2025/26 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 6

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проведи карточный фокус

Правило Васи: из групп A и B назвать A; из B и C — B; из C и A — C. Полная расшифровка дана в таблице решения.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Пете известны две свои карточки, поэтому ему надо различить только три оставшиеся. Попробуйте заранее договориться о круговом порядке чисел и передавать информацию выбором названной карточки.

Подсказка 2

На круге $1\to2\to3\to4\to5\to1$ от одной Петиной карточки до другой по часовой стрелке один или два шага. Пусть Петя назовёт именно эту первую карточку: тогда место его второй карточки ограничено двумя позициями.

Разобрать решение по шагам

Петя оставляет для своей второй карточки две возможности

Договоримся обходить круг $1\to2\to3\to4\to5\to1$ Петя называет ту свою карточку, от которой до другой по кругу нужно сделать один или два шага. Почему такая карточка всегда ровно одна? Два пути между Петиными карточками имеют длины либо $1$ и $4$ либо $2$ и $3$ ровно один путь не длиннее двух шагов.

Например, с карточками $1$ и $3$ Петя называет $1$ от $1$ до $3$ два шага, а от $3$ до $1$ — три. Услышав $1$ Вася знает, что вторая карточка Пети — $2$ или $3$

Это пример правила для пары 1 и 3. При любой другой паре используется тот же круг.

Сведём оставшиеся карточки к трём группам

Отсчитаем позиции после названной карточки Пети. Первые две объединим в группу $A$ третью назовём группой $B$ четвёртую — группой $C$ Эти группы может определить и Петя, и Вася: достаточно услышать первое сообщение.

Вторая карточка Пети находится в $A$ Поэтому у Васи не могут оказаться обе карточки группы $A$ В группах $B$ и $C$ и так по одной карточке. Итак, две Васины карточки обязательно принадлежат двум разным группам.

После названной

1

группы имеют вид

A=\{2,3\}

B=\{4\}

C=\{5\}

Вася знает эти группы, даже если не знает вторую карточку Пети.

Вася выбирает по круговому правилу

Вася смотрит, какие две группы представлены у него, и выбирает карточку по таблице. Например, из пары групп $A,B$ он называет карточку группы $A$ Правило зависит только от его собственных карточек и услышанного числа Пети.

Группы карточек Васи	Из какой группы назвать
$A$ и $B$	$A$
$B$ и $C$	$B$
$C$ и $A$	$C$

Из двух имеющихся групп Вася выбирает ту, от которой стрелка направлена к другой. Цикл работает как «камень, ножницы, бумага».

Петя однозначно восстанавливает карточку зрителей

Петя знает обе свои карточки. Среди трёх не принадлежащих ему карточек ровно одна из каждой группы: одна оставшаяся из $A$ одна из $B$ и одна из $C$ Поэтому достаточно узнать группу зрительской карточки.

Если Вася назвал карточку из $A$ то по правилу у него группы $A,B$ а у зрителей остаётся $C$ Аналогично разбираются два других случая:

Вася назвал	Другая группа у Васи	Группа у зрителей
$A$	$B$	$C$
$B$	$C$	$A$
$C$	$A$	$B$

Проверим случай, когда Вася не знает ответ

Пусть Петя сказал $1$ а у Васи $4$ и $5$ Это группы $B,C$ поэтому Вася говорит $4$ При этом он не знает, у зрителей $2$ или $3$ и для фокуса ему этого знать не нужно.

Если у Пети $1,2$ то среди оставшихся карточек группа $A$ представлена только числом $3$ — оно и у зрителей. Если у Пети $1,3$ то у зрителей $2$ Петя использует свою скрытую карточку, поэтому одно и то же сообщение Васи правильно понимается в обеих раздачах.

Петя	Вася	Сообщения	Зрители
$1,2$	$4,5$	$1$ затем $4$	$3$
$1,3$	$4,5$	$1$ затем $4$	$2$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Петя выбирает карточку по кругу из пяти чисел, а Вася — по круговому правилу для трёх групп: $AB\to A$ $BC\to B$ $CA\to C$ По группе названной Васей карточки Петя определяет единственную возможную карточку зрителей.

Главная идея

Первое сообщение сокращает неопределённость, а второе кодирует одну из трёх возможностей. Получатель расшифровывает сообщение вместе с тем, что уже знает сам.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах на передачу информации запишите, что известно каждому участнику именно в момент его хода. Ищите правило выбора, при котором одинаковые сообщения не путают случаи для получателя.

Возможная ошибка

Требовать, чтобы Вася сам узнал зрительскую карточку. Его задача — передать сообщение, которое Петя расшифрует с учётом обеих своих карточек. Подглядывать вторую карточку Пети Васе не нужно.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 7 · задача 6 ↗

Математический праздник · 2026 год · учебный сезон 2025/26 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: А. Грибалко.

Официальное решение · страницы 13, 14 ↗

Условие сверено с оригинальным PDF. Доказательство проверено отдельно от официального ответа вторым ИИ-рецензентом; выполнены проверки случаев и официальная сверка.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Поиск и алгоритмы →

Тема, знания и приёмы

Поиск и алгоритмы · Продвинутая подготовка

Круговой порядок
Разбор трёх случаев
Различие между известной и неизвестной участнику информацией

Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →