Матпраздник 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Математика · 7 кл., №6

Условие

У Васи есть трафареты и цветные карандаши. Вася каждым ходом может приложить трафарет к бумаге и закрасить выбранным цветом всю видимую через трафарет область.

Например, используя трафарет с двумя отверстиями, как на рисунке слева, Вася может раскрасить фигурку в центре за 3 хода в 3 цвета.

Придумайте для Васи такой трафарет с двумя отверстиями, пользуясь которым он сможет за 5 ходов раскрасить фигуру в форме яблока (на рисунке справа) в 5 цветов так, чтобы каждая треугольная клетка была покрашена ровно одним цветом. Трафарет можно поворачивать и переворачивать.

Сверху: пример трафарета и раскраски из условия. Снизу: яблоко, для которого нужно придумать свой трафарет.

О задаче · 7 класс · 8 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 6

Официальные баллы8 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Придумай свои два отверстия и покрой яблоко пятью ходами.

Без JavaScript можно сделать построение на бумаге; условие, подсказки и полный разбор остаются доступны.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сколько маленьких треугольников в яблоке вместе с листиком? Сколько должен закрашивать один ход?

Подсказка 2

Попробуй сделать одно отверстие из четырёх треугольников вокруг одной вершины, а другое — из одного треугольника. Важно расстояние и положение между ними.

Разобрать решение по шагам

Посчитаем площадь одного хода

Шестиугольная часть яблока разбивается на шесть больших треугольников, в каждом по четыре маленьких. Вместе с листиком получаем $6\cdot4+1=25$ клеток. Если за пять ходов каждую покрасить ровно один раз одним трафаретом, на один ход приходится $25:5=5$ клеток.

Вырежем два отверстия

Одно отверстие — четыре соседних маленьких треугольника вокруг общей вершины, то есть четыре сектора из шести. Второе — отдельный маленький треугольник. Их взаимное положение берём точно с рисунка: обводим всю пару, не передвигая отверстия независимо. Серый прямоугольник вокруг — материал трафарета, белые области — отверстия.

Белая область из четырёх клеток — одно отверстие: пунктир внутри показывает сетку, а не перегородки. Отдельный белый треугольник — второе отверстие.

Положим один трафарет пять раз

На схеме все клетки с одной цифрой закрашиваются за один ход. Сначала приложим трафарет к клеткам с цифрой $1$ Затем перенесём, при необходимости повернём и перевернём тот же лист к клеткам $2$ затем $3$ $4$ $5$ Для каждого номера видны ровно четыре соседних треугольника веера и один отдельный: переносится вся пара отверстий.

Пять цветов и цифры 1–5 обозначают пять ходов. У листика и четырёх центральных клеток один номер.

Проверим, что пример выполняет всё условие

Каждая группа содержит $5$ треугольников и ровно два отверстия. Проверь равенство целых пар: обведи обе белые области на прозрачной бумаге, затем совмести её с каждой из пяти групп на рисунке. Четыре треугольника веера совмещаются последовательно по сторонам сетки, и отдельный треугольник каждый раз точно попадает в клетку с тем же номером. Это проверяет не только форму отверстий, но и расстояние между ними. Все $25$ клеток имеют ровно один номер; наружных закрашенных клеток нет. Значит, показанные пять положений одного трафарета дают нужную раскраску. Точная проверка поворотов и переворотов также заложена в модель: независимо двигать два отверстия она не позволяет.

Проверка	Результат
Отверстий в трафарете	$2$
Клеток за один ход	$4+1=5$
Ходов и цветов	$5$
Всего разных закрашенных клеток	$25$
Повторных или наружных клеток	$0$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Подходит показанный трафарет: веер из четырёх треугольников и отдельный треугольник. Пять положений обозначены на схеме числами 1–5.

Главная идея

Искать пять равных частей, каждая из которых состоит из двух раздельных отверстий. Равенство проверять для всей пары отверстий.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если один трафарет используют несколько раз, все закрашиваемые за ход фигуры должны совпадать после движения или переворота, а не только иметь равную площадь.

Возможная ошибка

Нарисовать пять частей по пять клеток, не проверив, что две дырочки сохраняют взаимное положение при каждом ходе.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 7 · задача 6 ↗

Математический праздник · 2025 год · учебный сезон 2024/25 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: И. Русских.

Официальное решение · страницы 12, 13 ↗

Условие и рисунки сверены с официальным источником. Собственное решение зафиксировано до чтения официального разбора; выполнены проверка доказательства и точные проверки модели.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Преобразования и разбиения →

Тема, знания и приёмы

Преобразования и разбиения · Продвинутая подготовка

Поворот и отражение фигур

Приёмы решения: Дополнительное построение · Поворот плоскости

Задать вопрос по задаче →