Фантики за обмен фруктов

Найдём мерку, которая ведёт себя одинаково

При обмене апельсина на две груши фруктов становится больше, но фантик всё равно один. Поэтому общее число фруктов не поможет. Назначим груше $1$ жетон, яблоку и апельсину — по $3$. Это только способ считать, а не цена обменника. Проверим все правила: $3\to2$, $3+1\to3$, $3+1\to3$. Каждый обмен уменьшает запас жетонов ровно на один.

Ограничим число фантиков

Сначала жетонов

В конце останется не меньше $2$. Если есть яблоко или апельсин, это уже не меньше трёх жетонов. Если остались только груши, последний фрукт, который был яблоком или апельсином мог исчезнуть лишь при обмене апельсина на две груши: другие обмены сохраняют число яблок и апельсинов вместе. Значит, груш не меньше двух. Поэтому фантиков не больше $210-2=208$.

Покажем маленький повторяемый цикл

Оставим один апельсин. Апельсин и груша превращаются в яблоко; затем яблоко и ещё одна груша снова превращаются в апельсин. За два обмена потрачены две груши, а апельсин вернулся. Получены два фантика. Такой цикл удобно повторять.

Достигнем верхней границы

Сначала обменяем все $30$ яблок вместе с $30$ грушами на $30$ апельсинов: это $30$ фантиков, теперь апельсинов $60$. Из них $59$ обменяем на $118$ груш, получив ещё $59$ фантиков; один апельсин оставим. Повторим описанный цикл $59$ раз: он съест $118$ груш и даст $118$ фантиков. Последний апельсин обменяем на две груши — ещё один фантик. Всего

Верхняя граница достигнута.