Матпраздник 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Математика · 7 кл., №3

Условие

У математика есть набор из 16 гирь: $\frac13$ кг, $\frac14$ кг, $\frac15$ кг, …, $\frac1{18}$ кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)

О задаче · 7 класс · 5 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 3

Официальные баллы5 баллов

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель 2

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Подбери свои гири

Если модель недоступна, своя попытка на бумаге и полный статичный разбор остаются доступны.

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам 1

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Как заполняется один килограмм

Переключайте состояния или покажите их все. Каждое состояние добавляет один шаг.

1. Половина

Две первые гири дают $\frac12$

2. Ещё треть

Следующие две дают $\frac13$ всего $\frac56$

3. Остаток

Последняя пара даёт $\frac16$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Не обязательно брать гири подряд. Удобнее собирать простые суммы из небольших групп.

Подсказка 2

Попробуйте сначала собрать половину, затем треть; какая доля останется?

Разобрать решение по шагам

Соберём половину килограмма

Вместо подбора всей суммы сразу начнём с удобной пары:

\frac13+\frac16=\frac26+\frac16=\frac36=\frac12.

Эти две гири уже есть в наборе.

Соберём ещё треть

Из других гирь получаем

\frac14+\frac1{12}=\frac3{12}+\frac1{12}=\frac4{12}=\frac13.

Теперь набрано

\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56.

Не хватает одной шестой, но гиря $\frac16$ уже использована.

Заменим недостающую шестую парой

Подходит ещё одна пара:

\frac1{10}+\frac1{15}=\frac3{30}+\frac2{30}=\frac5{30}=\frac16.

Все шесть гирь различны, их знаменатели лежат от $3$ до $18$ Сумма равна $\frac12+\frac13+\frac16=1$ .

Гири	Сумма
$\frac13,\ \frac16$	$\frac12$
$\frac14,\ \frac1{12}$	$\frac13$
$\frac1{10},\ \frac1{15}$	$\frac16$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Например, гири $\frac13$ $\frac16$ $\frac14$ $\frac1{12}$ $\frac1{10}$ $\frac1{15}$ кг.

Главная идея

Большую сумму дробей удобнее собирать из пар с простыми результатами.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если нужен один пример суммы, начните с крупной удобной доли и следите за остатком.

Возможная ошибка

Взять гирю одной и той же массы дважды. Каждая из шестнадцати гирь имеется только в одном экземпляре.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 3 ↗

Математический праздник · 2025 год · учебный сезон 2024/25 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: М. Евдокимов.

Официальное решение · страницы 9 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Доли, отношения и проценты →

Тема, знания и приёмы

Доли, отношения и проценты · Нужна школьная база

Сложение дробей
Общий знаменатель

Приёмы решения: Разделение пространства поиска

Задать вопрос по задаче →