Матпраздник 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Математика · 7 кл., №2

Условие

Катя каждый день ест на завтрак либо кашу, либо яичницу, либо сырники, но никогда не ест два дня подряд одно и то же. В течение двух недель Катя записывала, чем она завтракала. Оказалось, что сырники она ела в два раза чаще, чем кашу. Сколько раз за эти две недели Катя завтракала яичницей?

О задаче · 7 класс · 5 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 7 класс
Сезон / этап: 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 2

Официальные баллы5 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 7 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Составь две недели завтраков

Если модель недоступна, своя попытка на бумаге и полный статичный разбор остаются доступны.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сколько раз максимум можно выбрать одно блюдо за 14 дней без двух одинаковых завтраков подряд?

Подсказка 2

Сырников не больше семи; яичницы тоже не больше семи. Что эти два ограничения говорят о числе порций каши?

Разобрать решение по шагам

Сначала короткий пример

За четыре дня одно блюдо можно выбрать не больше двух раз: иначе среди трёх его появлений не хватит дней для разделения. Для двух недель рассуждение такое же. Разобьём $14$ дней на семь соседних пар: $(1,2),(3,4),\ldots,(13,14)$ . В каждой паре каждое блюдо встречается не больше одного раза. Значит, каждое блюдо выбрано не больше $7$ раз.

Ограничим число завтраков с кашей

Сырники ели вдвое чаще каши. Если бы кашу ели хотя бы $4$ раза, сырники ели бы хотя бы $8$ раз — невозможно. Значит, каша была не больше $3$ раз. Если бы каша была не больше $2$ раз, то сырники — не больше $4$ раз, а яичница — не меньше $14-2-4=8$ раз. Это тоже невозможно. Остаётся ровно $3$ раза.

Посчитаем яичницу и проверим возможность

Каша — $3$ раза, сырники — $6$ раз. Поэтому яичница —

14-3-6=5

раз. Например, подходит последовательность ниже. Соседние блюда различаются. Здесь С — сырники, Я — яичница, К — каша.

Дни	Завтраки
1–7	С · Я · С · К · С · Я · С
8–14	Я · С · К · С · Я · К · Я

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$5$ раз. Обозначения в примере: С — сырники, Я — яичница, К — каша.

Главная идея

Два ограничения с разных сторон могут оставить единственное возможное количество.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если одинаковые объекты нельзя ставить рядом, разбейте позиции на пары и оцените максимальную частоту.

Возможная ошибка

Использовать только соотношение «сырников вдвое больше» и забыть запрет одинаковых соседних завтраков.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 2 ↗

Математический праздник · 2025 год · учебный сезон 2024/25 · математика · 7 класс · классический матпраздник.

Авторы: И. Русских.

Официальное решение · страницы 8, 9 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Подсчёт вариантов →

Тема, знания и приёмы

Подсчёт вариантов · Начальный вход

Подсчёт
Разбиение на пары

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →