Одна новая точка — два равнобедренных треугольника

Зачем нужна новая точка

Нам хочется получить середину $AC$, потому что $KH=\frac12 AC$. Отложим на стороне $AB$ отрезок $AN=BM$ и опустим $ND\perp AC$. Теперь нужно доказать, что $AD=KH$.

Докажем равенство проекций

Проведём через $M$ отрезок $MP$, параллельный $AC$, до $BH$. Получился прямоугольник $MKHP$, поэтому $MP=KH$. Прямоугольные треугольники $AND$ и $BMP$ равны по гипотенузе и острому углу: $AN=BM$, а углы при $A$ и $M$ равны как соответствующие при параллельных прямых. Значит, $AD=MP=KH$.

Получим первый равнобедренный треугольник

Итак, $AD=\frac12 AC$, то есть $D$ — середина $AC$. Соединим $N$ и $C$. Прямоугольные треугольники $AND$ и $CND$ равны по двум катетам: $AD=DC$, а $ND$ общий. Поэтому $AN=NC$, и угол $ACN$ равен углу $NAC$, то есть $22^\circ$.

Получим второй равнобедренный треугольник

Так как $AN=BM=AB-AM$,

Кроме того, в треугольнике $ANC$

Лучи $NA$ и $NB$ противоположны, поэтому

В треугольнике $NBC$ стороны $NB$ и $BC$ равны, значит, равны углы напротив них: $\angle NCB=44^\circ$.

Сложим две части искомого угла

Отрезок $CN$ лежит внутри угла $ACB$. Значит,