Popov AcademyУсловие
У Пети было 18 одинаковых по внешнему виду монет — две по 1 г, две по 2 г, две по 3 г, ..., две по 9 г. Он разложил их на подносе по кругу, как показано на рисунке. Потом поднос как-то повернули, и теперь непонятно, где какая монета. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь это определить?
О задаче · 6 класс · 8 баллов
Для подготовки: 6 класс.
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеОткрыть модель
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Своя попытка
Исследуй задачу
Какие монеты положить на чаши, чтобы различить все повороты за два взвешивания?
Без JavaScript можно сделать построение на бумаге; условие, подсказки и полный разбор остаются доступны.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Противоположные монеты имеют одинаковую массу. Достаточно различить девять возможных масс одной выбранной монеты.
Подсказка 2
Пронумеруй девять соседних мест против часовой стрелки. Сравни монеты на местах 1 и 2 с монетами на местах 5 и 7: получится по три возможных случая на каждый исход.
Разобрать решение по шагам
Отделим место от массы
Выберем любую монету и назовём её место . Следующие места нумеруем против часовой стрелки. Эти номера мы ввели сами: они не означают массы. На исходном рисунке в этом направлении массы идут , затем снова . Поворот сохраняет порядок. Поэтому, узнав массу монеты на месте , мы узнаем всё остальное. Вариантов всего девять, а противоположная монета повторяет ту же массу.
Первое взвешивание: разделим девять вариантов на три группы
Положим на левую чашу монеты с мест и , на правую — с мест и . Для краткости в таблице первая колонка — возможная масса монеты на месте . Остальные массы следуют по кругу; после снова идёт .
| Масса на месте 1, г | Слева: 1 + 2, г | Справа: 5 + 7, г | Исход |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 12 | левая легче |
| 2 | 5 | 14 | левая легче |
| 3 | 7 | 16 | левая легче |
| 4 | 9 | 9 | равновесие |
| 5 | 11 | 11 | равновесие |
| 6 | 13 | 4 | левая тяжелее |
| 7 | 15 | 6 | левая тяжелее |
| 8 | 17 | 8 | левая тяжелее |
| 9 | 10 | 10 | равновесие |
Выберем второе взвешивание по первому исходу
В каждой ветви осталось ровно три варианта. Используем разные вторые взвешивания. В таблицах ниже номера после слова «места» обозначают выбранные монеты, а числа внутри таблиц — их массы и суммы.
Если сначала: левая легче
Теперь взвесим слева места и , справа — и . Все три исхода различаются, значит, масса первой монеты определяется однозначно.
| Масса на месте 1, г | Слева, г | Справа, г | Исход |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 17 | левая легче |
| 2 | 10 | 10 | равновесие |
| 3 | 12 | 3 | левая тяжелее |
Если сначала: равновесие
Теперь взвесим слева места и , справа — и . Все три исхода различаются, значит, масса первой монеты определяется однозначно.
| Масса на месте 1, г | Слева, г | Справа, г | Исход |
|---|---|---|---|
| 4 | 13 | 13 | равновесие |
| 5 | 6 | 15 | левая легче |
| 9 | 14 | 5 | левая тяжелее |
Если сначала: левая тяжелее
Теперь взвесим слева места и , справа — и . Все три исхода различаются, значит, масса первой монеты определяется однозначно.
| Масса на месте 1, г | Слева, г | Справа, г | Исход |
|---|---|---|---|
| 6 | 8 | 17 | левая легче |
| 7 | 10 | 10 | равновесие |
| 8 | 12 | 3 | левая тяжелее |
Восстановим весь круг
Например, если первое взвешивание дало равновесие, а во втором левая чаша легче, то на месте лежит монета г. Дальше против часовой стрелки идут , затем последовательность повторяется. Таблицы охватывают все девять вариантов первой массы и все возможные исходы: ни один поворот не пропущен.
Ответ
Пронумеровать места против часовой стрелки и выполнить два взвешивания по таблицам разбора. Каждый из девяти возможных поворотов определяется однозначно.
Главная идея
Выбирать взвешивания, которые делят оставшиеся варианты по исходам; проверить все ветви.
Как заметить эту идею в другой задаче
Одно взвешивание даёт три исхода. После первого должно оставаться не больше трёх вариантов, и второе обязано действительно их различить.
Возможная ошибка
Взвесить противоположные монеты: они равны при любом повороте, поэтому такой опыт ничего не сообщает.
Источник и примечания
Официальный источник
PDF организатора · страницы 7 · задача 6 ↗Математический праздник · 2025 год · учебный сезон 2024/25 · математика · 6 класс · классический матпраздник.
Авторы: Т. Казицына.
Официальное решение · страницы 6, 7 ↗
Условие и рисунки сверены с официальным источником. Собственное решение зафиксировано до чтения официального разбора; выполнены проверка доказательства и точные проверки модели.
Можете объяснить идею своими словами?
Тема, знания и приёмы
Поиск и алгоритмы · Продвинутая подготовка
- Сравнение масс на чашечных весах
Приёмы решения: Разделение пространства поиска · Разбор случаев