Popov AcademyУсловие
В Тридевятом царстве на каждом перекрёстке сходится ровно три дорожки. Было у царя три сына, старшие умные, а младший Иван — дурак. Послал старик сыновей за молодильными яблоками. Старший, выйдя из дворца, на первом перекрёстке свернул налево, на следующем направо, потом налево, снова направо — и дошёл до волшебной яблони. Средний на первом перекрёстке свернул направо, потом налево, снова направо, снова налево — и тоже дошёл до этой яблони. А Иван на всех перекрёстках поворачивал направо, три раза повернул да и пришёл обратно во дворец несолоно хлебавши. Нарисуйте пример, как может выглядеть схема дорожек в Тридевятом царстве, если известно, что и от царского дворца, и от яблони отходит ровно по одной дорожке.
Перекрёсток дорожек выглядит примерно так, как на рисунке. С какой стороны к нему ни подойдёшь, можно свернуть налево, а можно направо.
О задаче · 6 класс · 6 баллов
Для подготовки: 6 класс.
Исследуй задачу
Самостоятельное исследованиеОткрыть модель 1
Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.
Постройте свою систему дорог. П — дворец, Я — яблоня. Добавьте перекрёстки и соедините их дорогами. Система проверит именно вашу схему и проведёт по ней трёх братьев.
Свою систему дорог можно также нарисовать на бумаге. Схемы и доказательство приведены ниже.
Это проверка вашего примера. Общее доказательство остаётся в разборе. Изменения в модели не меняют отметку «решено» и не отправляются на сервер.
Не удалось включить модель. Обновите страницу, чтобы попробовать снова. Условие, рисунки и полный разбор доступны ниже.
Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам 2
Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.
Иван: проверяем путь по участкам
1. Пройдено участков: 1
Дошли до А из дворца.
2. Пройдено участков: 2
Первый правый поворот: нижняя дорога к Б.
3. Пройдено участков: 3
Второй правый: верхняя дорога обратно к А.
4. Пройдено участков: 4
Третий правый: к дворцу.
Записать идеюЕсть запись
Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.
Черновик не сохраняется: текст только в этой вкладке.
Черновик изменён в другой вкладке. Твой текущий текст пока сохранён здесь, автоматическая запись остановлена.
Подсказка 1
Начните с Ивана: он должен обойти небольшой круг и вернуться по единственной дороге к дворцу. Сколько раз при этом он встретит один и тот же перекрёсток?
Подсказка 2
Две разные дорожки между двумя перекрёстками образуют обход. Оставьте на дальнем перекрёстке третью дорогу внутрь этого обхода; там можно устроить ещё один.
Разобрать решение по шагам
Начнём с короткого маршрута Ивана
Обозначим дворец буквой П. От него идёт одна дорожка. Назовём первый перекрёсток А, следующий — Б. Сделаем две разные дорожки между А и Б: одну сверху, другую снизу. Тогда Иван сможет пройти А → Б → А и вернуться во дворец. Важно: третий поворот он делает снова на А, а не на новом перекрёстке.
Разместим дороги, а не только соединения
Нарисуем большой обход А–Б. Из Б проведём третью дорогу внутрь обхода, к В. Ещё две дорожки свяжут В с Г, образуя меньший обход; из Г внутри него будет выход к яблоне Я. Изгибы возле Б и Г нужны: там три дороги расходятся в разные стороны, и левый с правым поворотом видны без угадывания.
Проверим три правых поворота
Выйдя из дворца, Иван выбирает нижнюю дорожку А–Б. В Б поворачивает направо на верхнюю дорогу обратно к А. При повторном приходе в А поворот направо возвращает его ко дворцу.
Проверим старшего брата
На А старший поворачивает налево — на верхнюю дорогу к Б. В Б он приходит с другой стороны, чем Иван, и поворот направо ведёт к В. В В левый поворот ведёт по нижней дорожке к Г, а в Г правый — к яблоне.
Проверим среднего брата
Средний сначала поворачивает направо — на нижнюю дорогу к Б. В Б поворот налево выводит к В. В В он выбирает правый поворот и верхнюю дорожку к Г; в Г поворот налево ведёт к яблоне. Проверены все три маршрута и все перекрёстки, значит, пример подходит.
Ответ
Подходит показанная схема с четырьмя перекрёстками и двумя вложенными обходами.
Главная идея
Строить схему от короткого замкнутого маршрута, а затем добавлять внутри неё второй обход. Проверять повороты относительно направления движения.
Как заметить эту идею в другой задаче
Если разные указания должны привести в одну точку, ищите места, где два пути расходятся и снова соединяются. Замкнутый маршрут помогает сначала закрепить часть схемы.
Возможная ошибка
Считать правой дорогу, которая расположена справа на листе. После прихода с другой стороны тот же выход может требовать левого поворота.
Источник и примечания
Официальный источник
PDF организатора · страницы 4 · задача 3 ↗Математический праздник · 2025 год · учебный сезон 2024/25 · математика · 6 класс · классический матпраздник.
Авторы: И. Русских.
Официальное решение · страницы 4 ↗
Условие сверено с оригинальным PDF. Доказательство проверено отдельно от официального ответа вторым ИИ-рецензентом; выполнены проверки случаев и официальная сверка.
Можете объяснить идею своими словами?
Тема, знания и приёмы
Графы · Продвинутая подготовка
- Левый и правый поворот относительно движения
- Чтение схемы
- Подсчёт выходящих дорог
Приёмы решения: Граф и степени вершин