Матпраздник 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Математика · 6 кл., №5

Условие

Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш. Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа. В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?

О задаче · 6 класс · 8 баллов

Олимпиада: Математический праздник
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Сезон / этап: 2025 год · учебный сезон 2024/25 · Классический Матпраздник
Комплект: задача 5

Официальные баллы8 баллов

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 6 класс.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть модель 2

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Своя попытка

Исследуй задачу

Изменится ли время, если торт больше?

Если модель недоступна, своя попытка на бумаге и полный статичный разбор остаются доступны.

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам 1

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Временная схема примера x = 60 минут

Переключайте состояния или покажите их все. Каждое состояние добавляет один шаг.

1. Сначала торт

Первый день: первые 60 минут каждый ест своё; ещё 60 минут оба едят варенье.

Длина каждой строки — 120 минут.

2. Сначала варенье

Второй день: 120 минут порознь, затем 15 минут вместе доедают торт.

Длина каждой строки — 135 минут. Т — торт. Масштаб строк двух дней различается; сравнивайте подписанные времена.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Не складывайте скорость поедания торта со скоростью поедания варенья: это разные продукты. Удобнее измерять каждый объём минутами работы Малыша.

Подсказка 2

Пусть в первый раз Карлсон ел торт x минут. Тогда Малышу на тот же торт понадобилось бы 3x минут. Выразите так же объём варенья.

Разобрать решение по шагам

Выберем понятную мерку

Если Карлсон ест торт $10$ минут, Малыш съел бы этот же кусок за $30$ минут. Для варенья $10$ минут Карлсона заменяют $20$ минут Малыша. Будем измерять объём каждого угощения временем, которое на него потратил бы Малыш один. Это не значит, что скорость еды для разных продуктов одинакова.

Запишем первый день

Обозначим через $x$ число минут, за которое Карлсон съел торт в первый день. Весь торт — это $3x$ минут Малыша. Варенье Малыш ел все $120$ минут, а Карлсон помогал последние $120-x$ минут. Поэтому вся банка — это

120+2(120-x)=120+240-2x=360-2x

минут Малыша.

Продукт	Мерка: минуты Малыша
Торт	$3x$
Варенье	$360-2x$

Переставим угощения

Во второй день Карлсон справился с банкой за

\frac{360-2x}{2}=180-x

минут. Всё это время Малыш ел торт. Из всего торта, равного $3x$ минутам его работы, осталось

3x-(180-x)=3x-180+x=4x-180

таких минут.

Доедим вместе

За одну минуту Малыш съедает одну свою минутную порцию торта, а Карлсон — три. Вместе они съедают четыре такие порции. На остаток уйдёт

\frac{4x-180}{4}=x-45

минут. Полное время:

(180-x)+(x-45)=135.

Неизвестное время $x$ сократилось: точный размер торта нам не понадобился. Условие о том, что Карлсон помогает доесть торт, означает, что остаток не отрицателен.

Проверим на одном возможном примере

Пусть в первый раз Карлсон ел торт $60$ минут. Тогда торт — $180$ минут Малыша, банка — $240$ минут Малыша. Во второй раз Карлсон ест банку $120$ минут; за это время от торта остаётся $60$ минут Малыша. Вместе доедают за $60:4=15$ минут. Итого $120+15=135$ Этот пример иллюстрирует формулу; общее доказательство дано выше.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$135$ минут, то есть $2$ часа $15$ минут.

Главная идея

Разные скорости можно сравнивать через одну мерку работы. Неизвестные объёмы иногда сокращаются при перестановке порядка.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если два участника по-разному быстро выполняют разные работы, выразите каждый объём во времени одного участника.

Возможная ошибка

Складывать «вдвое быстрее» и «втрое быстрее» в общую скорость для торта и варенья. Скорости складываются только для одного и того же продукта.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 5 ↗

Математический праздник · 2025 год · учебный сезон 2024/25 · математика · 6 класс · классический матпраздник.

Авторы: А. Шаповалов.

Официальное решение · страницы 5, 6 ↗

Условие сверено с официальным источником. Выполнены авторская проверка доказательства, отдельная редакционная самопроверка и сверка с официальным материалом. Независимой экспертной проверки пока не было.

Можете объяснить идею своими словами?

Продолжить тему: Работа и производительность →

Тема, знания и приёмы

Работа и производительность · Продвинутая подготовка

Скорость выполнения работы
Скобки и простые буквенные выражения

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →