Красная поверхность куба

Поймём, какие места выгоднее

Мысленно разделим каждый красный брусок на два кубика. Получится $54\cdot2=108$ красных кубиков. Один кубик на углу показывает три клеточки, на ребре вне угла — две, внутри грани — одну. Внутри большого куба он не виден совсем.

Запретим результат больше 172

Каждый из $108$ красных кубиков может дать одну наружную клетку. Дополнительную клетку дают не больше $48$ кубиков на рёбрах, а угловые — ещё по две, всего не больше $8\cdot2$. Поэтому наружных красных клеток не больше

Если красный кубик спрятан внутри, первая единица даже не появляется: оценка от этого только усиливается.

Соберём красный каркас целыми брусками

Выберем четыре параллельных ребра, например вертикальных. Каждое состоит из шести кубиков: положим вдоль него три красных бруска. Это $4\cdot3=12$ брусков. На каждом из остальных восьми рёбер углы уже заняты; четыре оставшихся кубика закрываются двумя брусками. Получаем ещё $8\cdot2=16$. Всего на каркас ушло $12+16=28$ красных брусков. Они заняли все $56$ угловых и реберных мест без пересечений.

Заполним остальные места и пересчитаем

Внутренний куб $4\times4\times4$ состоит из $64$ кубиков. Заполним его $32$ белыми брусками, укладывая их параллельными парами. На каждой из шести граней осталось окно $4\times4$ толщины один кубик: оно закрывается восемью брусками. Всего нужно $48$ брусков. У нас как раз осталось $54-28=26$ красных и $54-32=22$ белых, вместе $48$. Любые $26$ из этих брусков сделаем красными. Они дают $52$ наружные клетки, каркас — $8\cdot3+48\cdot2=120$. Итого

Оценка достигнута настоящей укладкой.