Матпраздник 2023 год · учебный сезон 2022/23 · Математика · 6 кл., №6

Условие

Кащей заточил в темницу толпу пленников и сказал им: «Завтра вам предстоит испытание. Я выберу нескольких из вас (кого захочу, но минимум троих), посажу за круглый стол в каком-то порядке (в каком пожелаю) и каждому на лоб наклею бумажку с нарисованной на ней фигуркой. Фигурки могут повторяться, но никакие две разные фигурки не будут наклеены на одинаковое число людей. Каждый посмотрит на фигурки остальных, а своей не увидит. Подавать друг другу какие-то знаки запрещено. После этого я наклейки сниму и велю всех развести по отдельным камерам. Там каждый должен будет на листе бумаги нарисовать фигурку. Если хоть один нарисует такую, какая была у него на лбу, всех отпущу. Иначе останетесь здесь навечно».

Как пленникам договориться действовать, чтобы спастись?

О задаче · 6 класс

Олимпиада: Математический праздник
Год: 2023 (учебный сезон 2022/23)
Предмет / класс: Математика · 6 класс
Вариант: Классический

Придумай договорённость и попробуй её «сломать», играя за Кащея. В модели «Испытание Кащея» рассаживай пленников, меняй их фигурки и выбирай договорённость — модель покажет, что видит и что рисует каждый, и спасутся ли все.

Ответ — договорённость (как каждый выбирает фигурку) и объяснение, почему кто-то обязательно угадает.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеИспытание Кащея

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Испытание Кащея

Ты — Кащей: рассаживай пленников и наклеивай фигурки. Выбери, как договорились пленники, — модель покажет, что видит и что рисует каждый и спасутся ли они.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Как исследовать без модели

Нарисуй круглый стол и 5–6 человек с фигурками (разные фигурки — на разное число людей). Для каждого запиши, что он видит и что нарисует по вашей договорённости. Найди рассадку, где все ошибаются, и придумай правило, которое её исправит.

Подсказка 1

Какая-то фигурка наклеена чаще всех остальных. Что видит человек с этой фигуркой на лбу? А что видят все остальные?

Подсказка 2

Договоритесь рисовать фигурку, которую видишь чаще всего. Это не помогает только в одном случае: когда второй по частоте фигурки ровно на одну меньше. Тогда люди с самой частой фигуркой видят ничью двух фигурок. Используйте то, что вы сидите по кругу.

Разобрать решение по шагам

Главная фигурка

Разные фигурки наклеены на разное число людей, поэтому одна из них — назовём её главной — встречается чаще всех. Пусть главная — квадрат, и квадратов $a$ а следующая по частоте фигурка — круг, кругов $b$ $b<a$

Нам достаточно, чтобы хотя бы один человек с квадратом нарисовал квадрат.

Если кругов хотя бы на два меньше

Договоримся: каждый рисует ту фигурку, которую видит чаще всего.

Человек с квадратом на лбу видит $a-1$ квадратов, а кругов — $b$ Если $b\le a-2$ то квадратов он видит больше, чем кругов (и тем более больше, чем других фигурок). Значит, он нарисует квадрат и угадает.

Трудный случай: кругов ровно на один меньше

Пусть $b=a-1$ Тогда человек с квадратом видит $a-1$ квадратов и $a-1$ кругов — поровну. Он не знает, что у него на лбу: квадрат или круг (если бы у него был круг, кругов было бы больше). Только по числам выбрать нельзя.

Например, за столом двое с квадратом и один с кругом: каждый с квадратом видит один квадрат и один круг. Остальные пленники в этом случае видят квадрат чаще всего и рисуют квадрат — а у них не квадрат. Значит, спасти всех должны люди с квадратами, и для ничьей нужно ещё одно правило.

Правило ничьей: идём по часовой стрелке

Добавим к договорённости: если две фигурки ты видишь одинаково часто, иди от себя по часовой стрелке до первого человека с одной из этих двух фигурок и нарисуй его фигурку.

Почему кто-то угадает. Мысленно уберём из-за стола всех, у кого не квадрат и не круг. Остались квадраты и круги, квадратов больше. Если бы за каждым квадратом по часовой стрелке сразу шёл круг, то кругов было бы не меньше, чем квадратов, — а их меньше. Значит, есть квадрат, за которым (среди квадратов и кругов) сразу идёт квадрат. Этот человек нарисует квадрат — и угадает.

Квадратов 3, кругов 2. Люди с квадратами видят ничью. Пятый идёт по часовой стрелке, пропускает треугольник и первым встречает квадрат: рисует квадрат и угадывает.

Договорённость целиком

Каждый рисует фигурку, которую видит чаще всего. Если таких фигурок две, он идёт от себя по часовой стрелке до первого человека с одной из этих двух фигурок и рисует его фигурку.

Если главная фигурка заметно чаще других, угадают все с главной фигуркой (шаг 2). Если следующая отстаёт ровно на одну, угадает хотя бы один человек с главной фигуркой (шаг 4). В обоих случаях пленники спасены. Если все фигурки одинаковые, каждый видит только её и рисует правильно.

Проверка

Проверим на компьютере. Программа перебрала все рассадки от $3$ до $8$ человек с фигурками до четырёх видов, где разные фигурки наклеены на разное число людей, и для каждой выполнила договорённость: всегда хотя бы один угадывает. Для сравнения: если рисовать фигурку соседа или просто самую частую (без правила ничьей), находятся рассадки, где не угадывает никто, — например, по часовой стрелке «квадрат, круг, квадрат, круг, квадрат, треугольник».

Ответ

Договорённость: каждый рисует фигурку, которую видит чаще всего; если таких две, он идёт от себя по часовой стрелке до первого человека с одной из этих двух фигурок и рисует его фигурку. Тогда хотя бы один человек с самой частой фигуркой угадает.

Ответ

Главная идея

Ищем того, кто наверняка может угадать: человека с самой частой фигуркой. Он ошибается в выборе только при ничьей с второй фигуркой, когда её ровно на одну меньше. Ничью решает круг: среди людей с этими двумя фигурками самых частых больше, поэтому где-то два таких человека идут подряд — и первый из них, глядя по часовой стрелке, угадает.

Признаки: «договоритесь заранее, чтобы хотя бы один угадал». Подумай, кто из участников в лучшем положении (здесь — у кого самая частая фигурка), найди случай, когда ему не хватает информации, и используй всё, что видно, — в том числе порядок за столом.

Где легко ошибиться

Договориться «рисовать самую частую» и забыть про ничью: при $b=a-1$ люди с главной фигуркой не могут выбрать. Ещё одна ошибка — правило «рисуй фигурку соседа»: Кащей рассадит так, что рядом с каждым будет другая фигурка.

Источник и авторство

Математический праздник 2023 года · классический вариант · 6 класс, задача 6 [8 баллов] · автор задачи Т. И. Голенищева–Кутузова, Т. В. Казицына.

Условия 2023 года (сайт праздника) ↗ · Бланк 6 класса (PDF) ↗ · Решения организатора (PDF) ↗ · Сайт Математического праздника ↗

Условие — с сайта праздника. Подсказки, решение, рисунки и модель — Popov Academy. Задача сначала решена самостоятельно, затем ответ сверен с решением организатора: Совпадает с первым способом в решениях организатора (ближайший по часовой стрелке кандидат).

Продолжить тему: Наблюдения и информация →

Тема, знания и приёмы

Наблюдения и информация · Продвинутая подготовка

Если каждому предмету одного вида сопоставить свой предмет другого вида, то второго вида не меньше

Приёмы решения: Логический вывод и исключение вариантов · Принцип Дирихле или худший случай · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →