Задача 1. Две длинные суммы

Почему не стоит считать «в лоб»

Можно честно сложить девять больших чисел, но это долго, и одна ошибка в переносе испортит ответ. Сравнивать только самые большие слагаемые тоже нельзя: $999\,999\,999$ больше, чем $987\,654\,321$, но остальные слагаемые второй суммы гораздо больше, чем у первой (например, $98$ против $22$).

Поступим иначе: запишем обе суммы столбиком и сравним их по столбикам — так, как их складывают на бумаге.

Столбик единиц

В первой сумме последняя цифра каждого числа — это сама цифра, из которой оно составлено: $1, 2, 3, \dots, 9$.

Во второй сумме числа $9, 98, 987, \dots$ оканчиваются на $9, 8, 7, \dots, 1$.

В обоих столбиках стоят одни и те же девять цифр, только в обратном порядке. Значит, суммы столбиков равны:

Столбик десятков

В первой сумме у числа $1$ десятков нет, а у остальных цифра десятков — та же, что и все его цифры: $2, 3, \dots, 9$.

Во второй сумме у числа $9$ десятков нет. У $98$ цифра десятков $9$, у $987$ — $8$, у $9876$ — $7$, и так далее до $987654321$, где цифра десятков $2$.

Снова один и тот же набор $2, 3, \dots, 9$, и суммы столбиков равны: $44$.

Любой столбик

Посмотрим, почему так будет в каждом столбике. Возьмём столбик, где стоит $k$-я цифра справа (единицы — первая, десятки — вторая).

Первая сумма. В этот столбик попадают числа, в которых хотя бы $k$ цифр: это числа из цифр $k, k+1, \dots, 9$. Каждое даёт в столбик свою цифру.

Вторая сумма. Читай число $98765$ справа налево: $5, 6, 7, 8, 9$ — цифры растут на $1$, и первая (самая левая) цифра всегда $9$. Число из $k$ цифр даёт в наш столбик свою первую цифру $9$, число из $k+1$ цифр — цифру $8$, число из $k+2$ цифр — $7$, …, самое длинное, из $9$ цифр, даёт $k$.

Получается тот же набор $k, k+1, \dots, 9$. В каждом столбике сумма цифр у двух сумм одинаковая.

Вывод

Сложение столбиком начинается с единиц: сумма столбика одинакова, значит, одинаковы и записанная цифра, и перенос в следующий столбик. В столбике десятков снова одинаковые суммы цифр и одинаковый перенос — и так до самого старшего столбика.

Две суммы складываются шаг за шагом одинаково, поэтому они равны.